Delta di Dirac

[kalos213]

Salve a tutti,
vorrei porvi una domanda riguardo la delta di dirac

quanto viene \(\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty } |\delta(t)|^{2} dt \)

grazie in aticipo

[Oiram92]

Domanda interessante Risolviamo il limite nel senso delle distribuzioni, quindi :

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} |\delta(t)|^2\;dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)\cdot \delta(t)\;dt \)

risolvendo per parti si ha :

\(\displaystyle = \left[u(t) \cdot \delta(t) \right]_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} \delta'(t)\;dt = - \int_{-\infty}^{+\infty} \delta'(t)\;dt \)

adesso considerando \(\displaystyle f(t) = \delta(t) \) e \(\displaystyle \phi(t)=1 \) dove \(\displaystyle \phi(t) \) è la funzione di prova (limitata) implicita in quell'integrale, allora per il teorema sulle derivate distribuzionali :

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f'(t)\;\phi(t)\;dt = - \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\;\phi'(t)\;dt \)

quindi :

\(\displaystyle - \int_{-\infty}^{+\infty} \delta'(t)\cdot 1\;dt = - \left(- \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)\cdot 0\;dt \right) = 0 \)

[kalos213]

"Oiram92":Domanda interessante Risolviamo il limite nel senso delle distribuzioni, quindi :

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} |\delta(t)|^2\;dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)\cdot \delta(t)\;dt \)

risolvendo per parti si ha :

\(\displaystyle = \left[u(t) \cdot \delta(t) \right]_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} \delta'(t)\;dt = - \int_{-\infty}^{+\infty} \delta'(t)\;dt \)

adesso considerando \(\displaystyle f(t) = \delta(t) \) e \(\displaystyle \phi(t)=1 \) dove \(\displaystyle \phi(t) \) è la funzione di prova (limitata) implicita in quell'integrale, allora per il teorema sulle derivate distribuzionali :

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f'(t)\;\phi(t)\;dt = - \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\;\phi'(t)\;dt \)

quindi :

\(\displaystyle - \int_{-\infty}^{+\infty} \delta'(t)\cdot 1\;dt = - \left(- \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)\cdot 0\;dt \right) = 0 \)

Però se chiamiamo \(\displaystyle x(t)=\delta(t) \) ne facciamo la trasformata di Fourier e calcoliamo l'integrale del modulo quadro nel dominio di Fourier si ha come risultato \(\displaystyle \infty \).
I due risultati non dovrebbero coincidere?

[Oiram92]

"kalos213":Però se chiamiamo \(\displaystyle x(t)=\delta(t) \) ne facciamo la trasformata di Fourier e calcoliamo l'integrale del modulo quadro nel dominio di Fourier si ha come risultato \(\displaystyle \infty \).
I due risultati non dovrebbero coincidere?

Ti riferisci all'eguaglianza di Parseval vero? In tal caso il teorema afferma che \(\displaystyle x(t),\mathcal{F}\left\{x(t)\right\} \in \mathcal{L}^1 \) cioè integrabili secondo Lebesgue ma il delta di Dirac "non ha senso" per le funzioni tradizionali ma solo in senso distribuzionale (infatti le distribuzioni vengono introdotte proprio per risolvere alcune questioni più "scientifiche" che richiedono termini impulsivi (come appunto il delta di Dirac). Quindi in tal caso non è possibile svolgere quell'integrale "in senso tradizionale" ma assume significato soltanto nel senso delle distribuzioni. Spero di essermi spiegato bene.

[dissonance]

"kalos213":Salve a tutti,
vorrei porvi una domanda riguardo la delta di dirac

quanto viene \(\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty } |\delta(t)|^{2} dt \)

grazie in aticipo

Il simbolo \(|\delta(t)|^2\) non ha senso, ma se avesse senso quell'integrale dovrebbe essere infinito. Per capire perché, considera formalmente \(\delta\) come il limite \(\lim_{n\to \infty} n\phi(nx)\), dove \(\phi\ge 0\) è tale che \(\int \phi=1\).