Definizione convergenza debole
Ho qualche problema con la definizione di convergenza debole. Il mio professore, seguendo abbastanza il mio libro di testo, fa questo ragionamento:
Innanzitutto definiscono il concetto di topologia debole e costruiscono tale topologia attraverso un sistema fondamentale di intorni.
Def. Sia X uno spazio di Banach con $X^*$ come duale, chiamo topologia debole su X la topologia più debole, ossia con meno aperti, che renda continui tutti i funzionali del duale.
Senza dare una definizione di convergenza debole, è subito dato questa proposizione che in molti libri ho trovato proprio come definizione.
Prop. Dico che un net ${x_α }_(α∈A)$ converge debolmente $x_α⇀x$ se e solo se $∀ϕ∈X^* si ha ϕ(x_α )→ϕ(x)$.
Dim.
(=>) per ipotesi ho la convergenza debole, per cui $∀ N(x,l_1,…,l_n,ε)$ intorno di x, il net $x_α$sta
definitivamente in N, quindi $∃α_0∈A∶∀α>α_0,x_α∈N(x,l_1,…,l_n,ε)$.
Questa non è la definizione di convergenza tradizionale? Cercando di dare un senso a ciò che leggo, mi verrebbe da dire che in realtà un net converge se è definitivamente contenuto in ogni intorno fondamentale che descrive la topologia debole, ma è una pura supposizione... ha senso(?)
Essendo$ l_1,…,l_n$ una base per $X^*$, avrò, in particolare che $∃α_0∈A∶∀α>α_0,x_α∈N(x,ϕ,ε)$.
Questo vuol dire che $|ϕ(x_α-x)|<ε$ e quindi ho la tesi.
Se la definizione di convergenza debole che ho pensato prima è giusta allora mi chiedo, dal momento che non mi è mai stata data una caratterizzazione di insieme fondamentale ma anche qui è tutto frutto delle mie ricerche personali, $N(x,ϕ,ε)$ è ancora un intorno fondamentale? Se si perchè?
(<=) Sia $x∈X$, quello che voglio far vedere è che, preso l’intorno $x∈N(x,l_1,…,l_n,ε)$,
$x_α∈N(x,l_1,…,l_n,ε)$ definitivamente. Sappiamo, per ipotesi, che presi i generatori del duale
$l_i (x_α )→l_i (x)$ e quindi che $∀α_i∈A,∃α>α_i ;|l_i (x_α-x)|<ε$
Uso il fatto che A è un insieme diretto e quindi
$∃α ̅>α_i ∀i=1,..,n∶|l_i (x_α-x)|<ε$
E questo vuol dire proprio che $x_α∈N$ definitivamente.
Inoltre, dal fatto che ho preso una base finita per il mio spazio duale deduco di avere uno spazio di Banach che abbia dimensione finita, e se la dimensione fosse infinita??
Innanzitutto definiscono il concetto di topologia debole e costruiscono tale topologia attraverso un sistema fondamentale di intorni.
Def. Sia X uno spazio di Banach con $X^*$ come duale, chiamo topologia debole su X la topologia più debole, ossia con meno aperti, che renda continui tutti i funzionali del duale.
Senza dare una definizione di convergenza debole, è subito dato questa proposizione che in molti libri ho trovato proprio come definizione.
Prop. Dico che un net ${x_α }_(α∈A)$ converge debolmente $x_α⇀x$ se e solo se $∀ϕ∈X^* si ha ϕ(x_α )→ϕ(x)$.
Dim.
(=>) per ipotesi ho la convergenza debole, per cui $∀ N(x,l_1,…,l_n,ε)$ intorno di x, il net $x_α$sta
definitivamente in N, quindi $∃α_0∈A∶∀α>α_0,x_α∈N(x,l_1,…,l_n,ε)$.
Questa non è la definizione di convergenza tradizionale? Cercando di dare un senso a ciò che leggo, mi verrebbe da dire che in realtà un net converge se è definitivamente contenuto in ogni intorno fondamentale che descrive la topologia debole, ma è una pura supposizione... ha senso(?)
Essendo$ l_1,…,l_n$ una base per $X^*$, avrò, in particolare che $∃α_0∈A∶∀α>α_0,x_α∈N(x,ϕ,ε)$.
Questo vuol dire che $|ϕ(x_α-x)|<ε$ e quindi ho la tesi.
Se la definizione di convergenza debole che ho pensato prima è giusta allora mi chiedo, dal momento che non mi è mai stata data una caratterizzazione di insieme fondamentale ma anche qui è tutto frutto delle mie ricerche personali, $N(x,ϕ,ε)$ è ancora un intorno fondamentale? Se si perchè?
(<=) Sia $x∈X$, quello che voglio far vedere è che, preso l’intorno $x∈N(x,l_1,…,l_n,ε)$,
$x_α∈N(x,l_1,…,l_n,ε)$ definitivamente. Sappiamo, per ipotesi, che presi i generatori del duale
$l_i (x_α )→l_i (x)$ e quindi che $∀α_i∈A,∃α>α_i ;|l_i (x_α-x)|<ε$
Uso il fatto che A è un insieme diretto e quindi
$∃α ̅>α_i ∀i=1,..,n∶|l_i (x_α-x)|<ε$
E questo vuol dire proprio che $x_α∈N$ definitivamente.
Inoltre, dal fatto che ho preso una base finita per il mio spazio duale deduco di avere uno spazio di Banach che abbia dimensione finita, e se la dimensione fosse infinita??
Risposte
E vabbè ma qual è questa definizione di convergenza debole che ti hanno dato? È la cosa più importante ed è anche l'unica che non hai scritto.
Non me l'hanno data... Altrimenti penso sarei riuscita ad arrivarci da sola. E' proprio perchè in praticamente tutti i testi la definizione che trovo è quella che mi è stata data come proposizione che mi chiedo quale possa essere la definizione che devo usare nel mio caso. Quale sia la definizione che usa chi procede in questo modo
Se il docente non ti ha dato la definizione, significa che non ha idea di cosa sia la matematica, oppure che da per scontato che tu la sappia da un corso precedente. Che corso stai seguendo?
Ciao Zstar.
E' strano, da quello che scrivi tra la definizione che hai dato di topologia debole e la proposizione seguente, ci dovrebbe stare la definizione di convergenza debole tramite la topologia debole, cioè che se una successione converge nella topologia debole si dice che converge debolmente.
Ad esempio, fa così il libro di Brézis, Functional analysis etc., 4° ed., p. 57:
" Se una successione $(x_n)$ in E converge a $x$ nella topologia debole $ sigma (E,E') $ [...] diremo talvolta che $x_n$ converge debolmente a $x$ in $ sigma (E,E') $ "
dove $E$ è uno spazio di Banach, $E'$ il suo duale .
E poi mette la proposizione che hai scritto tu.
Altri libri usano l'enunciato della proposizione come definizione di convergenza debole, che è una definizione che non richiede la topologia.
Così mi sembra, da ignorante di ritorno (e pure di andata), dato che queste cose le ho viste un secolo fa.
Ma qual è il tuo libro di testo?
E' strano, da quello che scrivi tra la definizione che hai dato di topologia debole e la proposizione seguente, ci dovrebbe stare la definizione di convergenza debole tramite la topologia debole, cioè che se una successione converge nella topologia debole si dice che converge debolmente.
Ad esempio, fa così il libro di Brézis, Functional analysis etc., 4° ed., p. 57:
" Se una successione $(x_n)$ in E converge a $x$ nella topologia debole $ sigma (E,E') $ [...] diremo talvolta che $x_n$ converge debolmente a $x$ in $ sigma (E,E') $ "
dove $E$ è uno spazio di Banach, $E'$ il suo duale .
E poi mette la proposizione che hai scritto tu.
Altri libri usano l'enunciato della proposizione come definizione di convergenza debole, che è una definizione che non richiede la topologia.
Così mi sembra, da ignorante di ritorno (e pure di andata), dato che queste cose le ho viste un secolo fa.
Ma qual è il tuo libro di testo?
Il mio testo è "Methods of modern mathematical physics" di Reed e Simon. Il mio testo da tutte le definizioni di cui ho parlato sopra ma non menziona la proposizione perchè semplicemente la da come definizione di convergenza debole.
A questo punto la definizione che manca suppongo sia quella di cui parli tu e che il mio professore forse ha dato per scontata
A questo punto la definizione che manca suppongo sia quella di cui parli tu e che il mio professore forse ha dato per scontata
Oppure l'ha data in maniera molto veloce e non si è notata! Anche in Brezis, non c'è nemmeno scritto 'Definizione', c'è scritto 'Notazione'...
Dandola per scontata, da quello che scrivi ci sarebbe un buco nell'esposizione.
Dandola per scontata, da quello che scrivi ci sarebbe un buco nell'esposizione.
Ma no, c’è. Solo che quel libro fa la costruzione della topologia debole usando il concetto di “limite induttivo”. È un lavoro piuttosto lungo e all’atto pratico non molto utile. (Concettualmente invece è una cosa interessante).
Scusa dissonance a quale libro ti riferisci? Reed e Simon?
Io di buco parlavo nella esposizione delle cose del professore scritte da Zstar.
Brezis la dà la definizione, solo in modo un po' fugace nell'esposizione.
Io di buco parlavo nella esposizione delle cose del professore scritte da Zstar.
Brezis la dà la definizione, solo in modo un po' fugace nell'esposizione.
Si, mi riferisco a Reed e Simon
"gabriella127":
Oppure l'ha data in maniera molto veloce e non si è notata! Anche in Brezis, non c'è nemmeno scritto 'Definizione', c'è scritto 'Notazione'...
Dandola per scontata, da quello che scrivi ci sarebbe un buco nell'esposizione.
Sisi il Reed e Simon dice che $x_\alpha->x$ debolmente se $\phi(x_\alpha)->\phi(x) \forall \phi \in X^*$, il problema era che io non potevo prenderla come definizione
Mi inserisco a conversazione inoltrata (forse finita) ma penso di poter aggiungere qualcosa.
Dal mio punto di vista non c'è alcun buco espositivo.
Tu hai \( X \) che è uno spazio vettoriale normato e quindi dotato, grazie alla norma, di una topologia (la cosiddetta topologia forte) che chiamiamo \( \tau \). Ora sai identificare le mappe da \( (X, \tau) \) in \( \mathbb{R} \) che sono continue. Chiamiamo la loro collezione \( X' \).
Ora puoi considerare una nuova topologia su \( X \) che è la meno fine (quella con meno aperti) che rende continui tutti gli elementi di \( X'\). Questa è una definizione ben posta (controlla, se vuoi) e quindi possiamo chiamare questa nuova topologia "topologia debole" e denotarla con \( \sigma \).[nota]Come accennava dissonance, questo è un caso particolare di topologia iniziale, secondo me un concetto molto interessante assieme al suo concetto "duale" di topologia finale. Se uno guarda con attenzione questa costruzione compare spesso: topologia prodotto, topologia di sottospazio, topologia dell'unione disgiunta...[/nota]
Adesso \( (X, \sigma) \) è un dignitoso spazio topologico e, presa una rete \( (x_{\lambda})_{\lambda} \subset X \), sai quindi cosa significa che essa converge ad un qualche punto \( x_0 \in X \) nella topologia \( \sigma \). Ora, avendo chiamato questa topologia "topologia debole", mi pare che sia del tutto naturale (e comprensibile) dire che una rete che converge nella topologia debole converge debolmente.
Quindi, a rigore, hai la definizione di convergenza debole semplicemente perché sai cosa vuol dire che una rete converge nella topologia debole.
E dunque la proposizione che citavi è proprio una proposizione. Poi, come tutte le equivalenze, può essere presa come definizione. Mi pare però che introdurre la topologia come ho fatto qua (e come mi sembra che ti sia stato fatto a lezione) e usare poi quella caratterizzazione come proposizione, sia più pulito.
Poi, come mi sembra hai accennato, il fatto chiave per mostrare quell'equivalenza è che, dato un punto \( x_0 \in X \), un sistema fondamentale di intorni di \( x_0 \) in \( (X, \sigma) \) è dato da insiemi del tipo
\[ \bigcap_{i=1}^N \left \{ x \in X \mid |f_i(x)-f_i(x_0) | < \epsilon \right \} \]
al variare di \( \epsilon >0 \), \( \{ f_1, \dots, f_N \} \subset X' \) e \( N \in \mathbb{N}_0 \). Da qui mi pare immediato vedere che
Data una rete \( (x_{\lambda})_{\lambda \in \mathbb{L}} \) essa converge debolmente a \( x_0 \in X \) se e solo se la rete di numeri reali \( (f(x_{\lambda}))_{\lambda \in \mathbb{L}} \) converge a \( f(x_0) \) per ogni \( f \in X'\).
Dal mio punto di vista non c'è alcun buco espositivo.
Tu hai \( X \) che è uno spazio vettoriale normato e quindi dotato, grazie alla norma, di una topologia (la cosiddetta topologia forte) che chiamiamo \( \tau \). Ora sai identificare le mappe da \( (X, \tau) \) in \( \mathbb{R} \) che sono continue. Chiamiamo la loro collezione \( X' \).
Ora puoi considerare una nuova topologia su \( X \) che è la meno fine (quella con meno aperti) che rende continui tutti gli elementi di \( X'\). Questa è una definizione ben posta (controlla, se vuoi) e quindi possiamo chiamare questa nuova topologia "topologia debole" e denotarla con \( \sigma \).[nota]Come accennava dissonance, questo è un caso particolare di topologia iniziale, secondo me un concetto molto interessante assieme al suo concetto "duale" di topologia finale. Se uno guarda con attenzione questa costruzione compare spesso: topologia prodotto, topologia di sottospazio, topologia dell'unione disgiunta...[/nota]
Adesso \( (X, \sigma) \) è un dignitoso spazio topologico e, presa una rete \( (x_{\lambda})_{\lambda} \subset X \), sai quindi cosa significa che essa converge ad un qualche punto \( x_0 \in X \) nella topologia \( \sigma \). Ora, avendo chiamato questa topologia "topologia debole", mi pare che sia del tutto naturale (e comprensibile) dire che una rete che converge nella topologia debole converge debolmente.
Quindi, a rigore, hai la definizione di convergenza debole semplicemente perché sai cosa vuol dire che una rete converge nella topologia debole.
E dunque la proposizione che citavi è proprio una proposizione. Poi, come tutte le equivalenze, può essere presa come definizione. Mi pare però che introdurre la topologia come ho fatto qua (e come mi sembra che ti sia stato fatto a lezione) e usare poi quella caratterizzazione come proposizione, sia più pulito.
Poi, come mi sembra hai accennato, il fatto chiave per mostrare quell'equivalenza è che, dato un punto \( x_0 \in X \), un sistema fondamentale di intorni di \( x_0 \) in \( (X, \sigma) \) è dato da insiemi del tipo
\[ \bigcap_{i=1}^N \left \{ x \in X \mid |f_i(x)-f_i(x_0) | < \epsilon \right \} \]
al variare di \( \epsilon >0 \), \( \{ f_1, \dots, f_N \} \subset X' \) e \( N \in \mathbb{N}_0 \). Da qui mi pare immediato vedere che
Data una rete \( (x_{\lambda})_{\lambda \in \mathbb{L}} \) essa converge debolmente a \( x_0 \in X \) se e solo se la rete di numeri reali \( (f(x_{\lambda}))_{\lambda \in \mathbb{L}} \) converge a \( f(x_0) \) per ogni \( f \in X'\).
Uuh ho sbagliato. In effetti il discorso con il limite induttivo è per la topologia dello spazio delle distribuzioni. La topologia debole su uno spazio di Banach è più semplice ed è quella che ha detto Bremen. 
Il buco c'era solo nell'esposizione del professore quale l'aveva riportata Zstar, non si diceva la definizione di convergenza debole tramite la topologia debole, dopo la definizione di topologia debole saltava direttamente alla proposizione in cui si menzionava la convergenza debole senza averla definita.
Perciò Tszar, non avendola mai vista, poteva non raccapezzarsi.
(E' una definizione molto sempice, giusto una questione terminologica, al professore può essere sfuggita).
L'esposizione e la definizione di Bremen è quella che avevo scritto nel mio primo messaggio (citando Brézis).
Perciò Tszar, non avendola mai vista, poteva non raccapezzarsi.
(E' una definizione molto sempice, giusto una questione terminologica, al professore può essere sfuggita).
L'esposizione e la definizione di Bremen è quella che avevo scritto nel mio primo messaggio (citando Brézis).
@ dissonance: si, non avevo nemmeno notato che ti riferivi in effetti ad un'altra cosa. Il limite induttivo di topologie non mi è mai andato giù!
@ Gabriella: in effetti ho visto quello che hai scritto e diciamo la stessa cosa. Volevo solo metterla giù nel linguaggio delle reti e senza necessariamente scrivere "spazio di Banach", che la completezza qui non serve. Inoltre, parliamo di lana caprina eh, mi sento di dire che non ci sia così bisogno di dire che "convergere nella topologia debole" = "convergere debolmente". E' solo una questione terminologica che mi pare ovvia.
@ Gabriella: in effetti ho visto quello che hai scritto e diciamo la stessa cosa. Volevo solo metterla giù nel linguaggio delle reti e senza necessariamente scrivere "spazio di Banach", che la completezza qui non serve. Inoltre, parliamo di lana caprina eh, mi sento di dire che non ci sia così bisogno di dire che "convergere nella topologia debole" = "convergere debolmente". E' solo una questione terminologica che mi pare ovvia.
Ma certo Bremen, non era certo per contraddirti, l'ho detto io stessa che è una definizione banale, era solo per capire come mai Zstar fosse perplessa.
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