Decomporre in fratti semplici
Salve a tutti. Ho un dubbio sul seguente esercizio:
Decomporre in fratti semplici $1/(p^2 (p+2)(p-2)$
Avevo pensato:
Visto che abbiamo $Z_0 =0 $ polo doppio , $Z_0 =-1 $ polo semplice e $Z_0 = 2$ polo semplice e visto che il grado del polinomio al numeratore è minore del grado del polinomio al numeratore di procedere così:
$A_1 /p^2 , A_2/p^2 , A_3/(p+1) , A_4/(p-2) $ con $A_1 , A_3 e A_4$ coincidenti con i residui (primo termine dello sviluppo) e $A_2$ da calcolare con la formula dei coefficienti.
Credo sia corretto però pensavo a poter procedere in maniera più rapida sommando e sottraendo determinate quantità al numeratore solo che vado in loop e sembra non avere fine .
Qualcuno può dirmi se il procedimento citato all'inizio è corretto?
Decomporre in fratti semplici $1/(p^2 (p+2)(p-2)$
Avevo pensato:
Visto che abbiamo $Z_0 =0 $ polo doppio , $Z_0 =-1 $ polo semplice e $Z_0 = 2$ polo semplice e visto che il grado del polinomio al numeratore è minore del grado del polinomio al numeratore di procedere così:
$A_1 /p^2 , A_2/p^2 , A_3/(p+1) , A_4/(p-2) $ con $A_1 , A_3 e A_4$ coincidenti con i residui (primo termine dello sviluppo) e $A_2$ da calcolare con la formula dei coefficienti.
Credo sia corretto però pensavo a poter procedere in maniera più rapida sommando e sottraendo determinate quantità al numeratore solo che vado in loop e sembra non avere fine .
Qualcuno può dirmi se il procedimento citato all'inizio è corretto?
Risposte
Ciao kekkok,
Beh e dov'è il problema?
$1/(p^2(p+2)(p−2)) = A/p^2 + B/(p + 2) + C/(p-2) $
ove $A = - 1/4 $, $B = - C = - 1/16 $
"kekkok":
Decomporre in fratti semplici $1/(p^2(p+2)(p−2))$
Beh e dov'è il problema?
$1/(p^2(p+2)(p−2)) = A/p^2 + B/(p + 2) + C/(p-2) $
ove $A = - 1/4 $, $B = - C = - 1/16 $
Su questo mi trovo. Avevo solo trovato difficoltà nel risolverlo in un modo alternativo ( a quanto pare inefficace in questo caso) cioè sommando e sottraendo una quantità ma , con la tua conferma di poter procedere in questo modo , il problema è risolto.
Puoi fare una cosa simile:
$$\frac{1}{p^2(p+2)(p-2)}=-\frac{1}{4} \cdot \frac{-4}{p^2(p+2)(p-2)}=-\frac{1}{4}\cdot \frac{p^2-4-p^2}{p^2(p+2)(p-2)}$$
$$=-\frac{1}{4} \left[\frac{p^2-4}{p^2(p+2)(p-2)}-\frac{p^2}{p^2(p+2)(p-2)}\right]=-\frac{1}{4} \left[\frac{(p+2)(p-2)}{p^2(p+2)(p-2)}-\frac{1}{(p+2)(p-2)}\right]$$
$$=-\frac{1}{4} \left[\frac{1}{p^2} -\frac{1}{(p+2)(p-2)}\right]$$
Ora fai una cosa simile con la frazione $\frac{1}{(p+2)(p-2)}$, scrivendo $1=\frac{4}{4}$ e aggiungendo e sottraendo $p$ e semplicemente mettendo bene i termini insieme affinché si cancellino con i termini del prodotto a denominatore.
$$\frac{1}{p^2(p+2)(p-2)}=-\frac{1}{4} \cdot \frac{-4}{p^2(p+2)(p-2)}=-\frac{1}{4}\cdot \frac{p^2-4-p^2}{p^2(p+2)(p-2)}$$
$$=-\frac{1}{4} \left[\frac{p^2-4}{p^2(p+2)(p-2)}-\frac{p^2}{p^2(p+2)(p-2)}\right]=-\frac{1}{4} \left[\frac{(p+2)(p-2)}{p^2(p+2)(p-2)}-\frac{1}{(p+2)(p-2)}\right]$$
$$=-\frac{1}{4} \left[\frac{1}{p^2} -\frac{1}{(p+2)(p-2)}\right]$$
Ora fai una cosa simile con la frazione $\frac{1}{(p+2)(p-2)}$, scrivendo $1=\frac{4}{4}$ e aggiungendo e sottraendo $p$ e semplicemente mettendo bene i termini insieme affinché si cancellino con i termini del prodotto a denominatore.
Ma perché complicarsi la vita? 
La scomposizione in fratti semplici è del tipo:
$A/p + B/p^2 + C/(p+2) + D/(p-2)$
poiché, essendo $0$ un polo doppio, ti aspetti due contributi dalle prime due potenze negative di $p$.
Ciò detto, i coefficienti $C$ e $D$ sono i residui integrali della funzione $1/(p^2(p+2)(p-2))$ in $-+2$ rispettivamente, quindi:
$C = -1/16$ e $D = 1/16$;
il coefficiente $B$ è il residuo integrale di $p*1/(p^2(p^2-4)) = 1/(p(p^2-4))$ nel polo semplice $0$:
$B = -1/4$;
ed $A$ è il residuo integrale di $1/(p^2(p^2 -4))$ nel polo doppio $0$:
$A = lim_(p -> 0) ("d")/("d" p)[ 1/(p^2 - 4)] = 0$.
Quindi la scomposizione è quella trovata sopra.
Osserva che la scomposizione si può scrivere pure à la Hermite, cioè come:
$A/p + B/(p+2) + C/(p-2) + ("d")/("d" p)[a/p]$
che consente un'integrazione più immediata.
$A/p + B/p^2 + C/(p+2) + D/(p-2)$
poiché, essendo $0$ un polo doppio, ti aspetti due contributi dalle prime due potenze negative di $p$.
Ciò detto, i coefficienti $C$ e $D$ sono i residui integrali della funzione $1/(p^2(p+2)(p-2))$ in $-+2$ rispettivamente, quindi:
$C = -1/16$ e $D = 1/16$;
il coefficiente $B$ è il residuo integrale di $p*1/(p^2(p^2-4)) = 1/(p(p^2-4))$ nel polo semplice $0$:
$B = -1/4$;
ed $A$ è il residuo integrale di $1/(p^2(p^2 -4))$ nel polo doppio $0$:
$A = lim_(p -> 0) ("d")/("d" p)[ 1/(p^2 - 4)] = 0$.
Quindi la scomposizione è quella trovata sopra.
Osserva che la scomposizione si può scrivere pure à la Hermite, cioè come:
$A/p + B/(p+2) + C/(p-2) + ("d")/("d" p)[a/p]$
che consente un'integrazione più immediata.
siete stati chiarissimi , grazie mille! 
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