Curva che si contrae ad un punto

[salvatoresambito]

Salve, stavo cercando di capire una definizione, trovata tra i miei appunti, di curva $ gamma$ che si contrae ad un punto $z_0 in Omega $ :
$ gamma : [a,b] -> Omega $ si contrae ad un punto $ z_0 in Omega $ , se

$ EE Gamma : [a,b] xx [0,1] -> Omega $
$ Gamma (t,1) = gamma (t)$
$Gamma (a,s) = Gamma (b,s)$
$Gamma (t,0) = z_0 AA t in [a,b]
$

Qualcuno potrebbe spiegarmi questa definizione? Grazie a tutti

[solaàl]

E' (quasi) la definizione di omotopia tra \(\gamma\) e il cammino costante in $z_0$: il "quasi" è dovuto al fatto che, se non chiedi a cosa deve essere uguale il valore comune \(\Gamma(a,s)=\Gamma(b,s)\), non puoi dire se è una omotopia libera o a estremi fissati. L'altra cosa che manca è che la condizione \(\Gamma(a,s)=\Gamma(b,s)\) è vera per ogni \(s\in [0,1]\).

Il contesto, comunque, fa presumere che \(\gamma(a)=\gamma(b)=z_0\) e che l'omotopia \(\Gamma\) rispetti questa condizione. (se non altro perché la congiunzione delle ultime due condizioni implica che \(\Gamma(a,0)=\Gamma(b,0)=z_0\)).

[salvatoresambito]

Si in effetti rivedendo gli appunti ho visto che c'è una condizione di continuità (forse riferita a $gamma$) e la condizione $ gamma(a) = gamma (b) $

[salvatoresambito]

"solaàl":E' (quasi) la definizione di omotopia tra \(\gamma\) e il cammino costante in $z_0$: il "quasi" è dovuto al fatto che, se non chiedi a cosa deve essere uguale il valore comune \(\Gamma(a,s)=\Gamma(b,s)\), non puoi dire se è una omotopia libera o a estremi fissati. L'altra cosa che manca è che la condizione \(\Gamma(a,s)=\Gamma(b,s)\) è vera per ogni \(s\in [0,1]\).

Il contesto, comunque, fa presumere che \(\gamma(a)=\gamma(b)=z_0\) e che l'omotopia \(\Gamma\) rispetti questa condizione. (se non altro perché la congiunzione delle ultime due condizioni implica che \(\Gamma(a,0)=\Gamma(b,0)=z_0\)).

In ogni caso non riesco ad immaginarmi cosa succede concretamente alla funzione quando si contrae in un punto...ho cercato su internet e non trovo nulla in merito

[solaàl]

Beh, ci vuole un po' per grokkare l'idea: fatti un disegno. Per esempio, cosa vuol dire che l'Equatore della sfera si contrae al polo? diventando un cerchio sempre più stretto? Cosa vuol dire che una curva sulla superficie di un toro si riduce sempre a una curva che allaccia $n$ volte lo spessore del toro, e di una curva che lo "abbraccia" $m$ volte in larghezza?

[salvatoresambito]

"solaàl":Beh, ci vuole un po' per grokkare l'idea: fatti un disegno. Per esempio, cosa vuol dire che l'Equatore della sfera si contrae al polo? diventando un cerchio sempre più stretto? Cosa vuol dire che una curva sulla superficie di un toro si riduce sempre a una curva che allaccia $n$ volte lo spessore del toro, e di una curva che lo "abbraccia" $m$ volte in larghezza?

Okk ora ci sono , però mi resta il dubbio delle :
$ EE Gamma : [a,b] xx [0,1] -> Omega $
$ Gamma (t,1) = gamma (t) $
$ Gamma (a,s) = Gamma (b,s) $
$ Gamma (t,0) = z_0 AA t in [a,b] $
Non riesco a capire cosa accade facendo variare le variabili (es. t,s ) e, sottoponendole a quelle condizioni. Sai per caso se c'è una rappresentazione grafica online (es. pdf) di questa condizione?

[gugo82]

Ti faccio vedere un esempio nel piano (che credo ti interessi, poiché mi pare tu stia studiando Analisi Complessa).

Prendiamo una curva tipo un’ellisse $gamma(t) := (3 cos t, 2 sin t)$ con $t in [0,2 pi]$ (che ha equazione cartesiana $x^2/9 + y^2/4 = 1$, centro $C_1=0=(0,0)$ e semiassi di lunghezze $3$ e $2$) ed il punto $z_0=1+i = (1,1)$.
La funzione $Gamma$ in questo caso è una funzione definita in $[0,2pi] xx [0,1]$ tale che:

[*:hrqzkpzm] $Gamma(t,1) = gamma(t)$ per ogni $t in [0,2pi]$;

[/*:m:hrqzkpzm]
[*:hrqzkpzm] $Gamma(t,0) = z_0$ per ogni $t in [0,2pi]$;

[/*:m:hrqzkpzm]
[*:hrqzkpzm] $Gamma(0, s) = Gamma(2pi, s)$ per ogni $s in [0,1]$.[/*:m:hrqzkpzm][/list:u:hrqzkpzm]

Una $Gamma$ che ha queste proprietà la puoi costruire geometricamente collegando con un segmento ogni punto $gamma(t)$ appartenente al sostegno di $gamma$ col punto $z_0$: infatti, per fissato $t in [0,2pi]$, il segmento che congiunge $z_0$ e $gamma(t)$ ha equazioni parametriche:

$\{ (x(t,s) = 1 + s (3 cos t - 1)), (y(t,s) = 1 + s( 2 sin t - 1)):}$ con $s in [0,1]$

e la funzione $Gamma(t,s) := (x(t,s), y(t,s))$ si vede ad occhio che gode delle proprietà elencate in precedenza.

Geometricamente cosa fa $Gamma$?
Fissato $s in [0,1]$, la curva $gamma_s(t) = Gamma(t,s) = (1-s + 3s cos t, 1-s + 2s sin t)$ è anch’essa un’ellisse, di centro $C_s = (1-s) + i (1-s) = (1-s, 1-s)$ e semiassi lunghi $3s$ e $2s$ (quindi si ottiene dall’ellisse $gamma=gamma_1$ mediante un’omotetia di rapporto $s$ ed una traslazione); quindi, facendo variare $s$ “vedi” $gamma = gamma_1$ che si deforma “con continuità” diventando sempre più piccola e “contraendosi” sul punto $C_0 = z_0 = 1+i$.

Visto che GeoGebra non funge, ti faccio un grafico statico con AsciiSVG.
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
stroke="grey"; marker="arrow"; line([3,0],[1,1]); line([0,-2],[1,1]); line([-3,0],[1,1]); line([0,2],[1,1]);
stroke="cyan"; ellipse([0.8,0.8],0.6,0.4);
stroke="dodgerblue"; ellipse([0.6,0.6],1.2,0.8);
stroke="blue"; ellipse([0.4,0.4],1.8,1.2);
stroke="purple"; ellipse([0.2,0.2],2.4,1.6);
stroke="black"; strokewidth=2; ellipse([0,0],3,2); dot([1,1]);[/asvg]
in nero $gamma=gamma_1$ e $C_0=z_0$, mentre in gradazioni di blu (più o meno... ) le ellissi $gamma_s$ per $s=1/5, 2/5, 3/5, 4/5$.

[salvatoresambito]

grazie mille

[dissonance]

"gugo82":
Visto che GeoGebra non funge, ti faccio un grafico statico con AsciiSVG.
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
stroke="grey"; marker="arrow"; line([3,0],[1,1]); line([0,-2],[1,1]); line([-3,0],[1,1]); line([0,2],[1,1]);
stroke="cyan"; ellipse([0.8,0.8],0.6,0.4);
stroke="dodgerblue"; ellipse([0.6,0.6],1.2,0.8);
stroke="blue"; ellipse([0.4,0.4],1.8,1.2);
stroke="purple"; ellipse([0.2,0.2],2.4,1.6);
stroke="black"; strokewidth=2; ellipse([0,0],3,2); dot([1,1]);[/asvg]
in nero $gamma=gamma_1$ e $C_0=z_0$, mentre in gradazioni di blu (più o meno... ) le ellissi $gamma_s$ per $s=1/5, 2/5, 3/5, 4/5$.

Quanto lavoro!

[gugo82]

Grazie dissonance.