Costante (e funzione) di Grossman
Consideriamo la successione definita per ricorrenza ${(a_0=x),(a_1=t),(a_n=f(a_(n-1),a_(n-2))\text{ se } n>=2):}$, con $f:RR^2->RR$, $x,t\inRR$.
Definizione: $f$ ha la proprietà $G$ in $D$ se $AAx∃!t$ tale che ${a_n}$ converge, dove $x$ varia in $D$.
Per una funzione $f$ con la proprietà $G$ su $D$ ($\subseteqRR$), si può definire $G(f):D->RR$ ponendo $G(f)(x)$ uguale all'unico valore di $t$ per cui ${a_n}$ converge dove $a_0=x$.
Un esempio di funzione con la proprietà $G$ è $g(u,v)=v/(1+u)$ con $D=RR_(>=0)$ e $G(g)(1)$ si chiama costante di Grossman.
Domanda: se $f$ è $P$, lo sarà anche $G(f)$? Dove $P$ può essere:
1) continua;
2) differenziabile; se sì come si calcola la derivata? (se ci pensate ogni volta che si introduce un nuovo modo di definire una funzione (tipo funzioni integrali, integrali dipendenti da un parametro, funzioni implicite, limiti di successioni ecc.) si dice subito come si fa a derivarla);
3) $C^k$;
4) misurabile (o boreliana);
5) semicontinua (in un verso o quell'altro).
Ogni proprietà andrà interpretata in base al numero di variabili della funzione a cui si riferisce.
Specifico che più che altro mi interesserebbero le risposte ai punti 1), 2) e 4).
Ringrazio chi interverrà
Definizione: $f$ ha la proprietà $G$ in $D$ se $AAx∃!t$ tale che ${a_n}$ converge, dove $x$ varia in $D$.
Per una funzione $f$ con la proprietà $G$ su $D$ ($\subseteqRR$), si può definire $G(f):D->RR$ ponendo $G(f)(x)$ uguale all'unico valore di $t$ per cui ${a_n}$ converge dove $a_0=x$.
Un esempio di funzione con la proprietà $G$ è $g(u,v)=v/(1+u)$ con $D=RR_(>=0)$ e $G(g)(1)$ si chiama costante di Grossman.
Domanda: se $f$ è $P$, lo sarà anche $G(f)$? Dove $P$ può essere:
1) continua;
2) differenziabile; se sì come si calcola la derivata? (se ci pensate ogni volta che si introduce un nuovo modo di definire una funzione (tipo funzioni integrali, integrali dipendenti da un parametro, funzioni implicite, limiti di successioni ecc.) si dice subito come si fa a derivarla);
3) $C^k$;
4) misurabile (o boreliana);
5) semicontinua (in un verso o quell'altro).
Ogni proprietà andrà interpretata in base al numero di variabili della funzione a cui si riferisce.
Specifico che più che altro mi interesserebbero le risposte ai punti 1), 2) e 4).
Ringrazio chi interverrà
Risposte
Non ho la soluzione (figurarsi), ma solo una domanda molto stupida: perché l'intestazione di $f$ è $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ se poi $f$ agisce su coppie?
Perchè ho sbagliato, ora correggo.
Ho dovuto stravolgere una parte di come era posta la domanda perchè non aveva più senso, comunque da quando ho posto la domanda a ora mi è venuta in mente una parziale risposta al punto 2).
Per come è definita $G(f)$, deve valere l'identità $G(f)(x)=f(G(f)(x),G(f)(x))$, insomma $G(f)(x)$ deve essere una sorta di punto fisso per $f$.
Quindi se $G(f)$ è derivabile la derivata deve soddisfare, posto $F=(G(f))'$: $F(x)=G(f)(x)(f_1(G(f)(x),G(f)(x))+f_2(G(f)(x),G(f)(x))$, quindi ci siamo ricondotti a cose che conosciamo.
Inoltre se è vero il motto di un mio professore di analisi, cioè "se puoi calcolarlo, allora esiste", $G(f)$ sarà derivabile
Per come è definita $G(f)$, deve valere l'identità $G(f)(x)=f(G(f)(x),G(f)(x))$, insomma $G(f)(x)$ deve essere una sorta di punto fisso per $f$.
Quindi se $G(f)$ è derivabile la derivata deve soddisfare, posto $F=(G(f))'$: $F(x)=G(f)(x)(f_1(G(f)(x),G(f)(x))+f_2(G(f)(x),G(f)(x))$, quindi ci siamo ricondotti a cose che conosciamo.
Inoltre se è vero il motto di un mio professore di analisi, cioè "se puoi calcolarlo, allora esiste", $G(f)$ sarà derivabile
Ancora sto tentando di digerire le notazioni. 
Sulla questione della derivabilità, se $G(f)$ è derivabile, la formula è chiaramente corretta. Tuttavia, andrebbero verificate le ipotesi del teorema di derivazione della funzione composta... Mi stai odiando, vero? Il quesito è davvero bello: sembra proprio un problema da proporre in un concorso di dottorato.
Sulla questione della derivabilità, se $G(f)$ è derivabile, la formula è chiaramente corretta. Tuttavia, andrebbero verificate le ipotesi del teorema di derivazione della funzione composta... Mi stai odiando, vero? Il quesito è davvero bello: sembra proprio un problema da proporre in un concorso di dottorato.
"Mathita":
Tuttavia, andrebbero verificate le ipotesi del teorema di derivazione della funzione composta... Mi stai odiando, vero?
Macchè odiando, è proprio quello il punto, per questo ho detto che è una risposta parziale, comunque per le ipotesi del teorema l'unica cosa che manca è se $G(f)$ è derivabile.
Se hai difficoltà sulle notazioni pensa prima solo alla funzione del link, la notazione è solo una formalizzazione di quella costruzione (ci potrebbe stare di puntualizzare che in realtà quella funzione non è definita su tutto $RR$ ma non mi andava di incasinare ancora di più la notazione, e eventuali risultati dovrebbero essere indipendenti da queste tecnicalità).
Ora che ci penso quell'esempio si potrebbe usare per testare il punto 2), si deriva, si guarda se si riesce a integrare (dubito) e si controlla il valore della costante di Grossman.
Ok no, ci ho provato pensando di "dimostrare" che la risposta alla 2) è no dato che non si sanno espressioni esplicite di quella costante, ma mi era sfuggito un piccolo dettaglio, cioè che la funzione non si sa calcolare, quindi non si sa calcolare nemmeno la derivata, se non nei punti che sono noti (un po' come con le funzioni definite implicitamente), per esempio se chiamiamo $G=G(g)(1)$ e lo immaginiamo come valore noto, la derivata in $1$ deve soddisfare $(G(g))'(1)=G/(1+G)^2$.
In questo momento sto cercando di provare la continuità. L'idea è quella standard: voglio dimostrare che per ogni $\epsilon>0$, esiste il solito $\delta>0$ tale che se $|x-x_0|<\delta$, allora $|G(f)(x)-G(f)(x_0)|<\epsilon$ sfruttando in qualche modo i seguenti fatti:
- la funzione $f$ è continua per ipotesi;
- le successioni $a_{n}(x)$ e $a_n(x_0)$ convergono a $a(x)$ e $a(x_0)$, rispettivamente.
Per il momento mi sto un po' rincretinendo con i quantificatori... ma secondo me è un approccio che può portare a qualcosa di sensato. Ci penso meglio.
- la funzione $f$ è continua per ipotesi;
- le successioni $a_{n}(x)$ e $a_n(x_0)$ convergono a $a(x)$ e $a(x_0)$, rispettivamente.
Per il momento mi sto un po' rincretinendo con i quantificatori... ma secondo me è un approccio che può portare a qualcosa di sensato. Ci penso meglio.
Ripensandoci quell'osservazione che ho fatto prima è tutta sbagliata perchè il valore della funzione non è il limite ma è $a_1=t$, quindi lasciate stare tutto quello che seguiva da quella.
Ho trovato interessante anche la pagina di Mathworld sul tema:
https://mathworld.wolfram.com/GrossmansConstant.html
Soprattutto nelle references il lavoro di Gabor Nyerges, "The Solution of the Functional Equation $x=(1+F(x))F^2(x)$." Preprint, Oct. 19, 2000. Il link riportato però non funziona, ma sono riuscito a scaricare il suo lavoro da [url=https://web.archive.org/web/20040730191336/http://eent3.sbu.ac.uk/Staff/nyergeg/www/etc/fneq.pdf]qui[/url].
https://mathworld.wolfram.com/GrossmansConstant.html
Soprattutto nelle references il lavoro di Gabor Nyerges, "The Solution of the Functional Equation $x=(1+F(x))F^2(x)$." Preprint, Oct. 19, 2000. Il link riportato però non funziona, ma sono riuscito a scaricare il suo lavoro da [url=https://web.archive.org/web/20040730191336/http://eent3.sbu.ac.uk/Staff/nyergeg/www/etc/fneq.pdf]qui[/url].
Anche io l'ho vista la pagina di Mathworld ma non capisco che generalizazione è $x=(1+F(x))F^2(x)$ 
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