Convoluzione di un prodotto di funzioni
Buongiorno a tutti,
io avrei un quesito, qualcuno saprebbe dirmi se esiste qualche proprietà che lega il prodotto di convoluzione con il prodotto canonico punto per punto, oltre a quella con la trasformata di Fourier(teorema di convoluzione)? E nel caso dovo posso leggerle?
In particolare io sarei interessato a scrivere in modo differente questa espressione:
$(f\cdot g) ox (f\cdot g)$
Nel caso non esistesse una proprietà generale, per caso ne esiste qualcuna sotto particolari ipotesi su $f$ o $g$ ?
Facendo qualche prova numerica sembrerebbe che $(f\cdot g) ox (f\cdot g)= f ox f + g ox g$ però è pura speculazione. Qualcuno saprebbe aiutarmi ?
io avrei un quesito, qualcuno saprebbe dirmi se esiste qualche proprietà che lega il prodotto di convoluzione con il prodotto canonico punto per punto, oltre a quella con la trasformata di Fourier(teorema di convoluzione)? E nel caso dovo posso leggerle?
In particolare io sarei interessato a scrivere in modo differente questa espressione:
$(f\cdot g) ox (f\cdot g)$
Nel caso non esistesse una proprietà generale, per caso ne esiste qualcuna sotto particolari ipotesi su $f$ o $g$ ?
Facendo qualche prova numerica sembrerebbe che $(f\cdot g) ox (f\cdot g)= f ox f + g ox g$ però è pura speculazione. Qualcuno saprebbe aiutarmi ?
Risposte
Quella uguaglianza non può mai essere vera in generale.
Basta prendere $f=0$ ovunque e $g != 0$ qualsiasi in $L^2(RR)$ (ad esempio, la caratteristica di un intervallo limitato).
D'altra parte, usando la definizione si vede che:
$(fg) otimes (fg) = int_(-oo)^(+oo) f(y)f(x-y)\ g(y)g(x-y)\ "d"y$
e questa roba qui difficilmente è uguale a:
$fotimes f + gotimes g = int_(-oo)^(+oo) f(y)f(x-y)\ "d"y + int_(-oo)^(+oo) g(y)g(x-y)\ "d"y$...
Le "prove numeriche" con quali funzioni le hai fatte?
Basta prendere $f=0$ ovunque e $g != 0$ qualsiasi in $L^2(RR)$ (ad esempio, la caratteristica di un intervallo limitato).
D'altra parte, usando la definizione si vede che:
$(fg) otimes (fg) = int_(-oo)^(+oo) f(y)f(x-y)\ g(y)g(x-y)\ "d"y$
e questa roba qui difficilmente è uguale a:
$fotimes f + gotimes g = int_(-oo)^(+oo) f(y)f(x-y)\ "d"y + int_(-oo)^(+oo) g(y)g(x-y)\ "d"y$...
Le "prove numeriche" con quali funzioni le hai fatte?
Eh lo so lo so, anch'io applicando la definizione mi sono chiesto come fosse possibile...
Le prove numeriche le ho fatte con una gaussiana ed un segnale stocastico, che è esattamente il caso che interessa a me... Ovvero il prodotto fra un segnale stocastico $f$ , inteso come una funzione positiva i cui valori abbiano una densità di probabilità esponenziale $a e^{-f(x)/a}$ , e una funzione $g$ a "campana" col massimo nell'origine.
Le prove numeriche le ho fatte con una gaussiana ed un segnale stocastico, che è esattamente il caso che interessa a me... Ovvero il prodotto fra un segnale stocastico $f$ , inteso come una funzione positiva i cui valori abbiano una densità di probabilità esponenziale $a e^{-f(x)/a}$ , e una funzione $g$ a "campana" col massimo nell'origine.
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