Convoluzione con segnali di tempo continuo
Buongiorno a tutti!
Non so se questa è la sede opportuna ma volevo chiedere un consiglio su questo testo di esame di segnali biomedici.
Dato $ x(t)= cos(5*\pi*t)*u(t)$
detta $h(t)=\delta(t+1)- rect(t-12)$ la risposta impulsiva del filtro, si calcoli l'uscita del filtro quando in ingresso vi entra $x(t)$
In ingresso al filtro ho quindi un coseno limitato dal gradino quindi $x(t)$ è diverso da zero solo per t>0.
Se non avessi l'impulso, l'esercizio lo saprei risolvere perchè sarebbe semplicemente la convoluzione tra il coseno e il rect nei giusti intervalli di tempo seguendo l'integrale di convoluzione: $y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\theta)h(t-\theta) dt$
ma come faccio invece a fare la convoluzione tra un coseno e un impulso traslato ?
Generalmente (essendo l'impulso l'elemento neutro della convoluzione) la convoluzione tra un impulso traslato e una funzione sarebbe la funzione traslata di quanto è traslato l'impulso ma in questo caso parliamo di una funzione che pur essendo limitata dal gradino comunque va ad infinito e non saprei come svolgerla.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille
Non so se questa è la sede opportuna ma volevo chiedere un consiglio su questo testo di esame di segnali biomedici.
Dato $ x(t)= cos(5*\pi*t)*u(t)$
detta $h(t)=\delta(t+1)- rect(t-12)$ la risposta impulsiva del filtro, si calcoli l'uscita del filtro quando in ingresso vi entra $x(t)$
In ingresso al filtro ho quindi un coseno limitato dal gradino quindi $x(t)$ è diverso da zero solo per t>0.
Se non avessi l'impulso, l'esercizio lo saprei risolvere perchè sarebbe semplicemente la convoluzione tra il coseno e il rect nei giusti intervalli di tempo seguendo l'integrale di convoluzione: $y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\theta)h(t-\theta) dt$
ma come faccio invece a fare la convoluzione tra un coseno e un impulso traslato ?
Generalmente (essendo l'impulso l'elemento neutro della convoluzione) la convoluzione tra un impulso traslato e una funzione sarebbe la funzione traslata di quanto è traslato l'impulso ma in questo caso parliamo di una funzione che pur essendo limitata dal gradino comunque va ad infinito e non saprei come svolgerla.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille
Risposte
In sostanza vuoi risolvere
$ y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(t-\tau) d\tau $
con
$h (\theta) = \delta(\theta+1)$.
Ovvero
$ y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta(t-\tau + 1) d\tau $
La $\delta$ ha valore diverso da zero solo per $t-\tau + 1 = 0$,
ovvero $\tau = t+1 $.
Quindi alla fine l'integrale si risolve semplicemente in
$y(t) = x(t+1)$
$ y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(t-\tau) d\tau $
con
$h (\theta) = \delta(\theta+1)$.
Ovvero
$ y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta(t-\tau + 1) d\tau $
La $\delta$ ha valore diverso da zero solo per $t-\tau + 1 = 0$,
ovvero $\tau = t+1 $.
Quindi alla fine l'integrale si risolve semplicemente in
$y(t) = x(t+1)$
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