Convergenze forti e deboli

[Dobrogost]

Ciao a tutti!
Ho un dubbio su un esercizio in preparazione all'esame di analisi superiore. L'esercizio dice:

Siano $\phi \in \C_c(mathbb{R})$, con supp($\phi$) $ \subseteq [-1, 1]$, $\phi \ge 0$ e $\int_\mathbb{R} \phi = 1$. Si consideri la successione regolarizzante $\rho_n(t) = n \phi (nt)$ e sia $(a_n)$ successione di $\mathbb{R}$. Si ponga infine:
$u_n(t)=\rho_n(x-a_n)$. (Diamo per scontato il primo punto che chiede di far vedere che $u_n$ appartiene a $L^p$, $\forall p \in [1, \infty]$, che ho già dimostrato). Sia $a_n=n^{-2}$. Stabilire per quali $p \in [1, \infty]$, $(u_n)$ converge nella topologia forte e/o in quella debole (debole * per $L^{\infty}$)

Ora.. I dubbi sono diversi.
In primis, noto che la candidata limite è la delta di Dirac. Detto ciò però:

1. Che senso ha anche solo porsi la domanda "la successione $(u_n) \subseteq \L^{p} , \forall p$ converge alla delta di Dirac?"?. D'altronde la delta non sta in $L_p$, quindi a che limite dovrei guardare per la convergenza forte? $0$? Se sì, perchè? Deriva dal fatto che $u_n(x) \rightarrow 0$ quasi ovunque?

2. Come faccio a far vedere che c'è convergenza debole alla delta? O, analogamente, come faccio a far vedere che non c'è convergenza se fosse questo il caso?

[Plepp]

"Dobrogost":D'altronde la delta non sta in $L_p$, quindi a che limite dovrei guardare per la convergenza forte? $0$? Se sì, perchè? Deriva dal fatto che $u_n(x) \rightarrow 0$ quasi ovunque?

Sì a entrambe le domande: gli elementi di $L^p$ sono classi di equivalenza di funzioni uguali q.o.

"Dobrogost":
2. Come faccio a far vedere che c'è convergenza debole alla delta? O, analogamente, come faccio a far vedere che non c'è convergenza se fosse questo il caso?

Ancora con questa delta? Il limite debole, se esiste, è un elemento di $L^p$. Dovresti far vedere che esiste una $v\in L^q$ ($q=p/{p-1}$) tal che
\[\lim_{n\to 0}\int_{-\infty}^{+\infty} u_nv\,\mathrm{d}t\ne 0\]

[Sk_Anonymous]

Devi anche fare attenzione alle topologie: quando si approssima la \(\delta\) lo si fa nella topologia debole-* di \(\mathcal{D}'(\Omega)\). Quindi per me non ha nemmeno senso pensare alla \(\delta\) come candidata limite forte (nella norma \(L^p\)) di quella successione.

Trattando la topologia debole di \(L^p\) uno in effetti potrebbe farsi confondere da come si "approssima" la \(\delta\) e dal fatto che \(L^q\) e' isometrico al duale topologico di \(L^p\) (e protrebbe domandarsi: ok, \(\delta \notin L^p \) perche' non e' nemmeno una funzione, ma non e' che per caso \(\delta : L^p \to \mathbb{R}\) come funzionale lineare e continuo? Di fatto \((L^p)^* \cong L^q \), ma cio' non significa che siano lo stesso spazio; quindi, seppur \(\delta \notin L^q\) per le solite ragioni, magari esiste una \(g_\delta \in L^q\) a cui si associa la \(\delta\) nell'isomorfismo \( (L^p)^* \to L^q\)). Il punto e' che sappiamo come sono fatti i funzionali lineari e continui su \(L^p\) (teorema di rappresentazione di Riesz) e sappiamo anche che \(\nexists \, f \in L^p _{\text{loc}}\) tale che \[ \langle \delta , \varphi \rangle = \int f \varphi \quad \forall \, \varphi \in C^{\infty} _c . \]
Questo dovrebbe concludere e rispondere alle (possibili) confusioni di cui sopra.

[Dobrogost]

Si grazie mille a tutti e due! Purtroppo ho fatto un po' di confusione con gli esercizi fatti in classe (che però erano nel contesto delle funzioni continue a supporto compatto, che è tutta un'altra cosa rispetto agli spazi Lp)

[Sk_Anonymous]

Dipende in che senso sono "tutt'altra cosa", \( C_c (\mathbb{R})\) e' pur sempre denso in \(L^p (\mathbb{R}) \)

[Dobrogost]

Intendevo dire che cambia ai fini degli esercizi sulle convergenze