Convergenza puntuale implica uniforme per funzioni convesse
Sto cercando di provare il seguente fatto.
Sia$\{u_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ una successione di funzioni, dove $u_k:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ è convessa. Si supponga che $u_k$ converga puntualmente ad una funzione $u:\ \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$. Allora $u_k$ converge uniformemente su ogni compatto di $\mathbb{R}^n$.
La mia idea è quella di usare il teorema di Ascoli-Arzelà. Però sono soltanto riuscita a provare che, per ogni $K$ compatto di , la successione $\{u_k\}_{k\in\mathbb{N}}$è equi-limitata e equi-lipschtziana, usando il fatto che una funzione convessa è continua e localmente lipschtziana.
Non so come procedere. Grazie per l'aiuto!
Sia$\{u_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ una successione di funzioni, dove $u_k:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ è convessa. Si supponga che $u_k$ converga puntualmente ad una funzione $u:\ \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$. Allora $u_k$ converge uniformemente su ogni compatto di $\mathbb{R}^n$.
La mia idea è quella di usare il teorema di Ascoli-Arzelà. Però sono soltanto riuscita a provare che, per ogni $K$ compatto di , la successione $\{u_k\}_{k\in\mathbb{N}}$è equi-limitata e equi-lipschtziana, usando il fatto che una funzione convessa è continua e localmente lipschtziana.
Non so come procedere. Grazie per l'aiuto!
Risposte
Secondo me hai finito.
Quello che ho provato però è che la successione degli $u_k$ è equi-lipschtziana su $K$. Per applicare Ascoli-Arzelà non dovrei far vedere che è equi-lipschtziana su tutto $\mathbb{R}^n$?
Grazie mille!
Grazie mille!
Poiché sono equi-limitate e equi-lipschitziane ($\implies$ equi-continue) su ogni compatto, allora su ogni compatto esiste una sottosuccessione convergente (uniformemente). Ma poiché il limite puntuale è $u$, anche il limite uniforme su ogni compatto dev'essere lo stesso 
Grazie:)
FIgurati!
Scusate, stavo ripensando a questo problema.
Alla fine procedendo in questo modo ho trovato che esiste una sottosuccessione di $(u_{k_{j}})\subseteq(u_k)$ che converge uniformante su ogni compatto.
Come faccio però ora a provare che tutta la successione $(u_k)$ converge uniformemente sui compatti?
Pensavo di usare il lemma di Urysohn: se per ogni sottosuccessione eiste una sottosottosuccessione convergente al limite allora tutta la successione converge al limite.
Però ho provato soltanto l'esistenza di una sottosuccessione che verifica le ipotesi del lemma, quindi non posso applicare Urysohn.
Come faccio a concludere?
Grazie ancora!
Alla fine procedendo in questo modo ho trovato che esiste una sottosuccessione di $(u_{k_{j}})\subseteq(u_k)$ che converge uniformante su ogni compatto.
Come faccio però ora a provare che tutta la successione $(u_k)$ converge uniformemente sui compatti?
Pensavo di usare il lemma di Urysohn: se per ogni sottosuccessione eiste una sottosottosuccessione convergente al limite allora tutta la successione converge al limite.
Però ho provato soltanto l'esistenza di una sottosuccessione che verifica le ipotesi del lemma, quindi non posso applicare Urysohn.
Come faccio a concludere?
Grazie ancora!
Sia \(K\subset\mathbb{R}^n\) un compatto.
Hai già dimostrato che le \((u_k)\) sono equiLipshitziane in \(K\); chiamiamo \(L\) la costante di Lipschitz comune.
Fissiamo \(\epsilon > 0\). Poiché \(K\) è compatto, può essere ricoperto da una famiglia finita di palle di raggio \(\epsilon\), diciamo
\[
K \subset \bigcup_{j = 1}^m B_\epsilon (x_j).
\]
Poiché \((u_k)\) converge a \(u\) puntualmente, esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che
\[
|u_k(x_j) - u(x_j)| < \epsilon,
\qquad \forall k\geq N,\ \forall j = 1,\ldots,m.
\]
Sia ora \(x\in K\) e sia \(j\in\{1,\ldots, m\}\) tale che \(x \in B_\epsilon(x_j)\). Abbiamo che, per ogni \(k\geq N\),
\[
|u_k(x) - u(x)| \leq |u_k(x) - u_k(x_j)| + |u_k(x_j) - u(x_j)| + |u(x_j) - u(x)|
\leq L |x-x_j| + \epsilon + L|x_j - x|
\leq (2L+1)\epsilon,
\]
quindi
\[
\sup_{x\in K} |u_k(x) - u(x)| \leq (2L+1)\epsilon
\qquad \forall k\geq N.
\]
Hai già dimostrato che le \((u_k)\) sono equiLipshitziane in \(K\); chiamiamo \(L\) la costante di Lipschitz comune.
Fissiamo \(\epsilon > 0\). Poiché \(K\) è compatto, può essere ricoperto da una famiglia finita di palle di raggio \(\epsilon\), diciamo
\[
K \subset \bigcup_{j = 1}^m B_\epsilon (x_j).
\]
Poiché \((u_k)\) converge a \(u\) puntualmente, esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che
\[
|u_k(x_j) - u(x_j)| < \epsilon,
\qquad \forall k\geq N,\ \forall j = 1,\ldots,m.
\]
Sia ora \(x\in K\) e sia \(j\in\{1,\ldots, m\}\) tale che \(x \in B_\epsilon(x_j)\). Abbiamo che, per ogni \(k\geq N\),
\[
|u_k(x) - u(x)| \leq |u_k(x) - u_k(x_j)| + |u_k(x_j) - u(x_j)| + |u(x_j) - u(x)|
\leq L |x-x_j| + \epsilon + L|x_j - x|
\leq (2L+1)\epsilon,
\]
quindi
\[
\sup_{x\in K} |u_k(x) - u(x)| \leq (2L+1)\epsilon
\qquad \forall k\geq N.
\]
Grazie !
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