Convergenza in spazi $L^p$

[AleIsa1]

Salve, vorrei sapere se quello che ho fatto fino ad ora in questo esercizio è giusto e vorrei anche una mano per proseguirlo.
Grazie

Data la successione di funzioni
$$ f_n(x)=\frac{x^n}{\sqrt[4]{x+1}(1+x)^n}, \quad\quad x\in(0,+\infty)$$

a) Studiare le convergenze quasi ovunque, quasi uniforme, in misura.
b) Per $n\in\mathbb{N}$ fissato trovare tutti i valori p, con $1\le p\le \infty$, tale che $f_ n\in L^p(0,+\infty)$.
c) Per i valori p di cui al punto b) studiare la convergenza della successione $\{f_n\}$ in $L^p(0,+\infty)$.

a)
Per la convergenza quasi ovunque ho fatto il limite puntuale di $f_n$ facendo tendere $n \to \infty$ e ho visto che la funzione limite è $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x+1}} $$
Per la convergenza quasi uniforme ho calcolato il $$\lim_{n\to \infty}\sup_{x} |f_n - f|$$per calcolare il sup, ho calcolato il limite per $x\to +\infty$ della derivata ed ho trovato che fa 0; quindi $f_n$ converge quasi uniformemente ad $f$ e di conseguenza anche in misura.

b)
Secondo me $f_n$ è limitata quindi $f_n \in L^\infty$, ma non riesco a dimostrare per quali p $f_n \in L^p $ , quindi non riesco nemmeno a svolgere il punto c)

[Studente Anonimo]

Per quanto riguarda la convergenza puntuale:

$[x gt 0] rarr [lim_(n->+oo)x^n/(root(4)(x+1)(1+x)^n)=lim_(n->+oo)1/(root(4)(x+1))(x/(1+x))^n=0]$

Per quanto riguarda la convergenza uniforme:

$(d)/(dx)[x^n/(root(4)(x+1)(1+x)^n)]=(x^(n-1)(4n-x))/(4root(4)(x+1)(1+x)^(n+1))$

Presentando un massimo per $[x=4n]$, non rimane che calcolare il seguente limite:

$lim_(n->+oo)(4n)^n/(root(4)(4n+1)(1+4n)^n)=lim_(n->+oo)1/(root(4)(4n+1))((4n)/(1+4n))^n=$

$=lim_(n->+oo)1/(root(4)(4n+1))[(1-1/(1+4n))^(1+4n)]^(n/(1+4n))=0$

dato che:

$lim_(n->+oo)[(1-1/(1+4n))^(1+4n)]^(n/(1+4n))=e^(-1/4)$

[AleIsa1]

Grazie per la correzione