Convergenza in $L_{loc}^1$ e q.o.
Ciao, vorrei chiedere una cosa che ho trovato studiando le distribuzioni
e non riesco a capire se sia vera o falsa.
Supponiamo che $f_{n}$ converga a f in $L_{loc}^1(\mathbb{R})$ (spazio delle funzioni localmente integrabili), nel senso che $f_{n}$ converge a f in $L^1([[a,b]])$ per ogni intervallo.
Vorrei capire il legame che c'è tra questa convergenza e quella q.o.
Non riesco a trovare nulla sul web, per questo spazio, ma solo su $L^1$ (e mi pare di aver letto che la L^1 non implica la q.o., ma esiste comunque una sottosuccessione convergente q.o.).
Intuitivamente mi sembra comunque vero, specie per funzioni continue, ma non riesco a provarlo.
Qualcuno sa se sia vero?
e non riesco a capire se sia vera o falsa.
Supponiamo che $f_{n}$ converga a f in $L_{loc}^1(\mathbb{R})$ (spazio delle funzioni localmente integrabili), nel senso che $f_{n}$ converge a f in $L^1([[a,b]])$ per ogni intervallo.
Vorrei capire il legame che c'è tra questa convergenza e quella q.o.
Non riesco a trovare nulla sul web, per questo spazio, ma solo su $L^1$ (e mi pare di aver letto che la L^1 non implica la q.o., ma esiste comunque una sottosuccessione convergente q.o.).
Intuitivamente mi sembra comunque vero, specie per funzioni continue, ma non riesco a provarlo.
Qualcuno sa se sia vero?
Risposte
Sai che una una successione di funzioni convergenti in $L^1(X)$ ha una successione q.o. convergente.
Allora $f_n$ ha una sottosuccessione $f_(1,n)$ convergente q.o. in $L^1(-1,1)$, che a sua volta ha una sottosuccessione $f_(2,n)$ convergente q.o. in $L^1(-2,2)$. Continuando così ottieni $AAk\inNN$ una sottosuccessione $f_(k,n)$ di $f_(k-1,n)$ convergente q.o. in $L^1(-k,k)$.
Allora $f_(n,n)$ è una sottosuccessione di $f_n$ che converge q.o. in $RR$.
Allora $f_n$ ha una sottosuccessione $f_(1,n)$ convergente q.o. in $L^1(-1,1)$, che a sua volta ha una sottosuccessione $f_(2,n)$ convergente q.o. in $L^1(-2,2)$. Continuando così ottieni $AAk\inNN$ una sottosuccessione $f_(k,n)$ di $f_(k-1,n)$ convergente q.o. in $L^1(-k,k)$.
Allora $f_(n,n)$ è una sottosuccessione di $f_n$ che converge q.o. in $RR$.
Ecco, questo è interessante, grazie.
Quindi questo è l'unico legame tra le due convergenze?
Inoltre, il problema è che negli appunti mi trovo scritto che " $f_{n}(x)=sin(nx)$ non converge q.o. (converge a 0 solo per opportuni x) e quindi non converge in $L_{loc}^1$ (mentre $T_{f_{n}}$ converge in $D'(\mathbb{R})$)"
Forse è perché se convergesse qui dentro dovrebbe esserci come hai detto un'estratta $f_{n_{k}}$ convergente q.o., ma questa estratta non può esistere (essendo che appunto $sin(n_{k}x)$ converge solo per multipli di $\pi$)?
Quindi questo è l'unico legame tra le due convergenze?
Inoltre, il problema è che negli appunti mi trovo scritto che " $f_{n}(x)=sin(nx)$ non converge q.o. (converge a 0 solo per opportuni x) e quindi non converge in $L_{loc}^1$ (mentre $T_{f_{n}}$ converge in $D'(\mathbb{R})$)"
Forse è perché se convergesse qui dentro dovrebbe esserci come hai detto un'estratta $f_{n_{k}}$ convergente q.o., ma questa estratta non può esistere (essendo che appunto $sin(n_{k}x)$ converge solo per multipli di $\pi$)?
Ragionare in astratto ti farà venire molti mal di testa. Meglio pensare sugli esempi concreti. In questo caso, l'esempio da considerare è la "successione macchina da scrivere":
https://terrytao.wordpress.com/2010/10/ ... nvergence/
(Example 4).
https://terrytao.wordpress.com/2010/10/ ... nvergence/
(Example 4).
"dissonance":
Ragionare in astratto ti farà venire molti mal di testa.
Oh beh questo è verissimo
Comunque la typewriter risolve il problema, ma il mio dubbio comunque resta sulla successione che ho scritto prima, riguardando meglio non credo si possa concludere come ho fatto..
Ti riferisci a \(\sin(nx)\)? Perché non andrebbe bene? Va bene, tranquillo.
Ah ottimo, grazie mille dell'aiuto.
Più che altro non ero sicuro di questo fatto:"le estratte $sin(n_{k}x)$ non sono convergenti q.o. perché il seno converge solo per alcuni x", perché vedendo su MSE trovavo dimostrazioni assurde della cosa.
Più che altro non ero sicuro di questo fatto:"le estratte $sin(n_{k}x)$ non sono convergenti q.o. perché il seno converge solo per alcuni x", perché vedendo su MSE trovavo dimostrazioni assurde della cosa.
Non è facilissimo infatti. Essenzialmente si tratta di dimostrare che \(\sin n\) non ha estratte convergenti. Non è affatto ovvio.
Scusa ma, ce l'ha (puoi scegliere come limite qualsiasi elemento di $[-1,1]$) .
Già, è vero. In effetti adesso che ci penso meglio la cosa è più delicata. Che \(\sin(nx)\) non ha estratte convergenti puntualmente sarà anche vero, immagino, ma dimostrarlo è un casino, non ne vale la pena. Qui noi vogliamo solo dimostrare che \(\lVert \sin(n\ \cdot)\rVert_{L^1(a, b)}\) NON tende a zero. Ma questo è più facile (assumo \(a=0\) per semplificare un po', ma non è necessario):
\[\begin{split}
\int_0^b \lvert \sin(nx)\rvert\, dx & = \frac{1}{n}\int_0^{nb} \lvert \sin y\rvert\, dy \\
&=\frac1n\left[ \left(\int_0^\pi+\int_{\pi}^{2\pi}+\ldots+\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\right) \lvert \sin y\rvert\, dy +\int_{k\pi}^{nb} \lvert \sin y\rvert\, dy\right]\\
&\ge \frac{[nb/\pi]}{n}\int_0^\pi \sin y\, dy \ge 2\frac{\frac{nb}{\pi}-1}{n},
\end{split}\]
e il membro destro NON tende a 0 per \(n\to \infty\) (infatti, tende a \(2b/\pi\)). Spiegazione della formula grande: l'integrale si può dividere in \(k\) integrali di lunghezza \(\pi\), più un pezzettino positivo, che scartiamo. Ognuno di quei \(k\) integrali vale \(\int_0^\pi \sin y\, dy=2\), e \(k\) è uguale a \([nb/\pi]\). Siccome, per ogni numero reale \(\alpha\), vale \([\alpha]\ge \alpha-1\), ponendo \(\alpha=nb/\pi\) otteniamo la disuguaglianza finale.
\[\begin{split}
\int_0^b \lvert \sin(nx)\rvert\, dx & = \frac{1}{n}\int_0^{nb} \lvert \sin y\rvert\, dy \\
&=\frac1n\left[ \left(\int_0^\pi+\int_{\pi}^{2\pi}+\ldots+\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\right) \lvert \sin y\rvert\, dy +\int_{k\pi}^{nb} \lvert \sin y\rvert\, dy\right]\\
&\ge \frac{[nb/\pi]}{n}\int_0^\pi \sin y\, dy \ge 2\frac{\frac{nb}{\pi}-1}{n},
\end{split}\]
e il membro destro NON tende a 0 per \(n\to \infty\) (infatti, tende a \(2b/\pi\)). Spiegazione della formula grande: l'integrale si può dividere in \(k\) integrali di lunghezza \(\pi\), più un pezzettino positivo, che scartiamo. Ognuno di quei \(k\) integrali vale \(\int_0^\pi \sin y\, dy=2\), e \(k\) è uguale a \([nb/\pi]\). Siccome, per ogni numero reale \(\alpha\), vale \([\alpha]\ge \alpha-1\), ponendo \(\alpha=nb/\pi\) otteniamo la disuguaglianza finale.
Adesso non so se c'entra più molto con questa domanda, ma hanno appena pubblicato su Math.SE una animazione della successione macchina da scrivere molto carina:
https://math.stackexchange.com/a/3519855/8157
https://math.stackexchange.com/a/3519855/8157
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo