Convergenza forte e debole
Ciao a tutti!
sono uno studente della magistrale di matematica e sto studiando la convergenza forte e debole tra spazi $L^p(E)$ con E un misurabile di $R^n$ (anche di misura infinita).
Stavo cercando di dimostrare se la convergenza in norma di una ${f_n}, f \in L^p$ e il fatto che $\int_{F}f_n \rightarrow \int_{F}f$ con F contenuto in E di misura finita, potessero in qualche modo implicare la convergenza forte.
Ho pensato di usare il teorema di Random Riesz, ma non riesco a ricavare la convergenza debole!
Grazie a chi darà anche solo un suggerimento!
sono uno studente della magistrale di matematica e sto studiando la convergenza forte e debole tra spazi $L^p(E)$ con E un misurabile di $R^n$ (anche di misura infinita).
Stavo cercando di dimostrare se la convergenza in norma di una ${f_n}, f \in L^p$ e il fatto che $\int_{F}f_n \rightarrow \int_{F}f$ con F contenuto in E di misura finita, potessero in qualche modo implicare la convergenza forte.
Ho pensato di usare il teorema di Random Riesz, ma non riesco a ricavare la convergenza debole!
Grazie a chi darà anche solo un suggerimento!
Risposte
Quali definizioni hai?
La condizione:
$AA F sube E " misurabile con " |F| < oo, int_F f_n -> int_F f$
è una condizione di convergenza debole rispetto alla classe delle funzioni caratteristiche dei misurabili di misura finita in $E$, poiché si riscrive:
$AA F sube E " misurabile con " |F| < oo, int_E f_n chi_F -> int_E f chi_F$.
Con argomenti di approssimazione non è possibile estendere questa convergenza a tutto $L^q(E)$?
La condizione:
$AA F sube E " misurabile con " |F| < oo, int_F f_n -> int_F f$
è una condizione di convergenza debole rispetto alla classe delle funzioni caratteristiche dei misurabili di misura finita in $E$, poiché si riscrive:
$AA F sube E " misurabile con " |F| < oo, int_E f_n chi_F -> int_E f chi_F$.
Con argomenti di approssimazione non è possibile estendere questa convergenza a tutto $L^q(E)$?
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