Convergenza dominata

[mobley]

Non riesco a capire perchè per un dato $R\in \mathbb(R)^+ ->\infty$ si ha che $ mathbb(E)^mathbb(Q)[\int_(0)^(T)(A\cdot mathbb(1)_(\tau ^^ \tau_R<=t<=\tau))^2dt ]=0 $, con $A$ una certa quantità. Cioè… se $R->\infty$ il minimo tra $\tau$ e $\tau_(\infty)$ è $\tau$, quindi $t=\tau$. Perciò siccome $(\tau ^^ \tau_R,\tau) sub [0,T]$ è certo che $t=\tau \in [0,T]$, quindi la funzione indicatrice dovrebbe valere 1 e non 0

[Bremen000]

Se, come credo, quando \( R \to + \infty \) hai che \( \tau_R \to + \infty \) allora \( \tau \wedge \tau_R = \tau \) e quindi ti rimane l'indicatrice di \( \{ \tau \} \) che è quasi ovunque $0$.

[mobley]

"Bremen000":Se, come credo, quando \( R \to + \infty \) hai che \( \tau_R \to + \infty \) allora \( \tau \wedge \tau_R = \tau \) e quindi ti rimane l'indicatrice di \( \{ \tau \} \) che è quasi ovunque $0$.

Scusa Bremen ma perchè zero?

[Bremen000]

Fissa \( \omega \in \Omega \), allora \( \mathbb{1}_{ t \in \{ \tau(\omega)\} } (t) =1\) solo se \( t = \tau(\omega) \).

[mobley]

"Bremen000":Fissa \( \omega \in \Omega \), allora \( \mathbb{1}_{ t \in \{ \tau(\omega)\} } (t) =1\) solo se \( t = \tau(\omega) \).

Appunto per questo dovrebbe valere 1 e non 0! Per $R->\inftyrArr \tau ^^ \tau_R=\tau$, quindi $\tau<=t<=\taurArr t=\tau$. Ne segue che $mathbb(1) _({t=\tau})=1$. Tuttavia il docente afferma quanto segue.
Sia $tilde(V)_(\tau_i \in \Lambda_T sub [0,T]):=V_0(\theta)+\int_(0)^(\tau_i)\sigmatilde(S)\alpha_tdW_t^(\mathbb(Q))$ con $\alpha_t, \sigma, tilde(S)$ costanti $\in \mathbb(R)^+$ e $V_0(\theta)$ una quantità nota. Allora si dimostra con il teorema della convergenza dominata che il $lim_(R -> \infty) mathbb(E)^\mathbb(Q)[|\tilde(V)_(\tau)(\theta)-tilde(V)_(\tau ^^ \tau_R)|^2]=0$. Presa infatti la quantità $lim_(R -> \infty) mathbb(E)^\mathbb(Q)[(\tilde(V)_(\tau)(\theta)-tilde(V)_(\tau ^^ \tau_R))^2]$ si dimostrerebbe: