Convergenza di successioni sin(nt) e cos(nt)
Salve a tutti.
Ho due esercizi collegati tra loro,
1) Sia \(\displaystyle z\in\mathbb{C}, \vert z\vert=1, z\neq1 \). Si provi che la successione \(\displaystyle (z^n)_n \) non è convergente in \(\displaystyle \mathbb{C} \).
Che è semplice in quanto basta usare la definizione di successione di Cauchy per cui \(\displaystyle \vert z^{n+1}-z^n\vert=\vert e^{i\theta}-1 \vert \) che dipende da \(\displaystyle \theta \) e non da \(\displaystyle n \) quindi non esiste il limite
2) Sia \(\displaystyle t\in\mathbb{R}, t\neq k\pi \forall k\in\mathbb{Z} \) si provi che le successioni reali \(\displaystyle (\sin(nt))_n \) e \(\displaystyle (\cos(nt))_n \) non convergono in \(\displaystyle \mathbb{R} \)
(Sugg. si verifichi che \(\displaystyle \cos(nt)=(\sin(t))^{-1}(\sin((n+1)t)-\sin(nt)) \))
Dall'esercizio 1 ricavo che \(\displaystyle z^n=e^{int}=\cos(nt)+i\sin(nt) \) da cui almeno una delle 2 non converge. Quindi supponendo che converga \(\displaystyle \sin(nt) \) dal suggerimento si ha che converge anche \(\displaystyle \cos(nt) \) quindi converge aanche l'esercizio 1, il che è una contraddizione.
Al netto di ciò, come faccio a verificare il suggerimento?
Mi è richiesto di usare le nozioni dei complessi poichè si tratta di Metodi Matematici per l'ingegneria
Io riesco ad arrivare (usando da 1 il fatto che \(\displaystyle \vert z^{n+1}-z^n\vert=\vert z-1\vert \text{ con } z=e^{it}=\cos(t)+i\sin(t) \)) fino a
\(\displaystyle \vert(\cos((n+1)t)-\cos(nt))+i(\sin((n+1)t)-\sin(nt))\vert=\vert cos(t)+i\sin(t)-1\vert \)
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie in anticipo
Ho due esercizi collegati tra loro,
1) Sia \(\displaystyle z\in\mathbb{C}, \vert z\vert=1, z\neq1 \). Si provi che la successione \(\displaystyle (z^n)_n \) non è convergente in \(\displaystyle \mathbb{C} \).
Che è semplice in quanto basta usare la definizione di successione di Cauchy per cui \(\displaystyle \vert z^{n+1}-z^n\vert=\vert e^{i\theta}-1 \vert \) che dipende da \(\displaystyle \theta \) e non da \(\displaystyle n \) quindi non esiste il limite
2) Sia \(\displaystyle t\in\mathbb{R}, t\neq k\pi \forall k\in\mathbb{Z} \) si provi che le successioni reali \(\displaystyle (\sin(nt))_n \) e \(\displaystyle (\cos(nt))_n \) non convergono in \(\displaystyle \mathbb{R} \)
(Sugg. si verifichi che \(\displaystyle \cos(nt)=(\sin(t))^{-1}(\sin((n+1)t)-\sin(nt)) \))
Dall'esercizio 1 ricavo che \(\displaystyle z^n=e^{int}=\cos(nt)+i\sin(nt) \) da cui almeno una delle 2 non converge. Quindi supponendo che converga \(\displaystyle \sin(nt) \) dal suggerimento si ha che converge anche \(\displaystyle \cos(nt) \) quindi converge aanche l'esercizio 1, il che è una contraddizione.
Al netto di ciò, come faccio a verificare il suggerimento?
Mi è richiesto di usare le nozioni dei complessi poichè si tratta di Metodi Matematici per l'ingegneria
Io riesco ad arrivare (usando da 1 il fatto che \(\displaystyle \vert z^{n+1}-z^n\vert=\vert z-1\vert \text{ con } z=e^{it}=\cos(t)+i\sin(t) \)) fino a
\(\displaystyle \vert(\cos((n+1)t)-\cos(nt))+i(\sin((n+1)t)-\sin(nt))\vert=\vert cos(t)+i\sin(t)-1\vert \)
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie in anticipo
Risposte
La differenza di due seni si può trasformare in un prodotto con le formule di prostaferesi. 
Dopotutto, è un trucco che si usa anche in Analisi I, ad esempio per calcolare la derivata del seno.
Oppure, puoi tenere presente che $ sin(alpha) = (e^(alpha i) - e^(-alpha i))/(2i)$ e vedere cosa ne tiri fuori.
Dopotutto, è un trucco che si usa anche in Analisi I, ad esempio per calcolare la derivata del seno.
Oppure, puoi tenere presente che $ sin(alpha) = (e^(alpha i) - e^(-alpha i))/(2i)$ e vedere cosa ne tiri fuori.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo