Convergenza assoluta serie di potenze complessa sulla circonferenza
Sappiamo che se una serie di potenze complessa \(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty c_k (z - z_0)^k \) converge nel punto \(\displaystyle \tilde z \) allora converge assolutamente/uniformemente nel disco aperto \(\displaystyle |z - z_0| < |\tilde z - z_0|=R \).
Ora la convergenza puntuale sulla circonferenza \(\displaystyle |z - z_0| = R \) implica la convergenza assoluta sulla circonferenza stessa ?
Cercando in rete ho trovato questo link in cui la risposta e' negativa. Sierpinski (1916) ha mostrato che esiste una serie di potenze complessa che converge sulla circonferenza unitaria senza tuttavia convergere assolutamente sulla circonferenza stessa. La motivazione risiede nel fatto che tale serie di potenze converge ad una funzione \(\displaystyle f(z) \) unbounded sul disco chiuso \(\displaystyle |z| \leq 1 \).
E' noto che una funzione continua su un compatto e' limitata (bounded) quindi \(\displaystyle f(z) \) non puo' esser continua sul disco chiuso.
Il dubbio ora e' il seguente: siccome \(\displaystyle f(z) \) e' assolutamente convergente nel disco aperto unitario, ne segue che essa e' ivi limitata e continua, quindi \(\displaystyle f(z) \) deve esser necessariamente illimitata (unbounded) sulla circonferenza unitaria.
Ora la domanda e': come e' possibile che la serie sia illimitata sulla circonferenza unitaria se abbiamo assunto per ipotesi esser convergente su di essa ?
Ora la convergenza puntuale sulla circonferenza \(\displaystyle |z - z_0| = R \) implica la convergenza assoluta sulla circonferenza stessa ?
Cercando in rete ho trovato questo link in cui la risposta e' negativa. Sierpinski (1916) ha mostrato che esiste una serie di potenze complessa che converge sulla circonferenza unitaria senza tuttavia convergere assolutamente sulla circonferenza stessa. La motivazione risiede nel fatto che tale serie di potenze converge ad una funzione \(\displaystyle f(z) \) unbounded sul disco chiuso \(\displaystyle |z| \leq 1 \).
E' noto che una funzione continua su un compatto e' limitata (bounded) quindi \(\displaystyle f(z) \) non puo' esser continua sul disco chiuso.
Il dubbio ora e' il seguente: siccome \(\displaystyle f(z) \) e' assolutamente convergente nel disco aperto unitario, ne segue che essa e' ivi limitata e continua, quindi \(\displaystyle f(z) \) deve esser necessariamente illimitata (unbounded) sulla circonferenza unitaria.
Ora la domanda e': come e' possibile che la serie sia illimitata sulla circonferenza unitaria se abbiamo assunto per ipotesi esser convergente su di essa ?
Risposte
Una funzione continua su un aperto limitato mica deve essere per forza limitata...
Poi l'esempio io non lo conosco ma dal punto di vista logico, anche se fosse limitata nel disco aperto, potrebbe essere illimitata anche solo sul bordo.
Poi l'esempio io non lo conosco ma dal punto di vista logico, anche se fosse limitata nel disco aperto, potrebbe essere illimitata anche solo sul bordo.
"otta96":
Poi l'esempio io non lo conosco ma dal punto di vista logico, anche se fosse limitata nel disco aperto, potrebbe essere illimitata anche solo sul bordo.
Ok, ma se e' illimitata in qualche punto sul bordo, allora la serie non puo' convergere in quel/quei punti contro l'ipotesi.
Ripensandoci penso di aver capito.
La serie di potenze del link (Sierpinski) converge ad una funzione \(\displaystyle f(z) \) nel cerchio unitario che e' illimitata/unbounded in almeno un intorno di un un punto sulla circonferenza unitaria. Quindi, essendo per ipotesi la serie convergente sulla circonferenza unitaria, significa che in corrispondenza di questo/questi punti la \(\displaystyle f(z) \) e' discontinua.
Torna ? Grazie.
La serie di potenze del link (Sierpinski) converge ad una funzione \(\displaystyle f(z) \) nel cerchio unitario che e' illimitata/unbounded in almeno un intorno di un un punto sulla circonferenza unitaria. Quindi, essendo per ipotesi la serie convergente sulla circonferenza unitaria, significa che in corrispondenza di questo/questi punti la \(\displaystyle f(z) \) e' discontinua.
Torna ? Grazie.
Si.
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