Consigli utili per calcolare la Trasformata di Fourier?
Salve,
sto preparando metodi e vorrei crearmi un "riassunto" mentale di come calcolare la trasformata di Fourier di una funzione.
In generale mi è stato detto di cercare di evitare di utilizzare la formula generale, poichè comporta a calcoli lunghi e svantaggiosi. A meno che non ci sia la funzione caratteristica, in quel caso ci sono sempre dei calcoli abbastanza lunghi e noiosi ma è abbastanza diretta la cosa.
Nei vari altri casi è sempre meglio sfruttare le relazioni principali ( in esame avrò a disposizione le varie tabelle).
Ad esempio se ho un logaritmo in funzione ho trovato più veloce passare prima dallo scomporre per l'argomento del logaritmo e poi sfruttare la derivata prima. Dalla derivata mi rivolgo alle tabelle per la trasformata e metto tutto insieme.
Un altro esempio è quando mi trovo una funzione trigonometrica, qui ho trovato che è più semplice riscriverla per l'equivalente con l'esponente ( es: $ cos $ = $ Re((e^z + e^(-z))/2) $ )
Da cui separo per le $ e $ e calcolo con il teorema dei residui + lemma di Jordan.
Ha senso questo ragionamento?
Quale sarebbe il modus operandi in generale?
Grazie e cordiali saluti
sto preparando metodi e vorrei crearmi un "riassunto" mentale di come calcolare la trasformata di Fourier di una funzione.
In generale mi è stato detto di cercare di evitare di utilizzare la formula generale, poichè comporta a calcoli lunghi e svantaggiosi. A meno che non ci sia la funzione caratteristica, in quel caso ci sono sempre dei calcoli abbastanza lunghi e noiosi ma è abbastanza diretta la cosa.
Nei vari altri casi è sempre meglio sfruttare le relazioni principali ( in esame avrò a disposizione le varie tabelle).
Ad esempio se ho un logaritmo in funzione ho trovato più veloce passare prima dallo scomporre per l'argomento del logaritmo e poi sfruttare la derivata prima. Dalla derivata mi rivolgo alle tabelle per la trasformata e metto tutto insieme.
Un altro esempio è quando mi trovo una funzione trigonometrica, qui ho trovato che è più semplice riscriverla per l'equivalente con l'esponente ( es: $ cos $ = $ Re((e^z + e^(-z))/2) $ )
Da cui separo per le $ e $ e calcolo con il teorema dei residui + lemma di Jordan.
Ha senso questo ragionamento?
Quale sarebbe il modus operandi in generale?
Grazie e cordiali saluti
Risposte
Ciao DriveKnight,
Diciamo che in generale si usa la definizione (che fra l'altro non è univoca, ma può variare da testo a testo ed anche in base al contesto), ma non c'è un modus operandi standard che vada bene per tutti gli esercizi: dipende un po' dall'esercizio stesso...
In questo stesso forum puoi trovare diversi thread nei quali la trasformata di Fourier è stata calcolata in diversi modi, ad esempio qui, qui, qui e qui.
"DriveKnight":
Quale sarebbe il modus operandi in generale?
Diciamo che in generale si usa la definizione (che fra l'altro non è univoca, ma può variare da testo a testo ed anche in base al contesto), ma non c'è un modus operandi standard che vada bene per tutti gli esercizi: dipende un po' dall'esercizio stesso...
In questo stesso forum puoi trovare diversi thread nei quali la trasformata di Fourier è stata calcolata in diversi modi, ad esempio qui, qui, qui e qui.
Grazie, vuol dire che mi manca ancora molta pratica 
Questo vale anche per le trasformate di Laplace e zeta vero? e inevitabilmente anche per gli esercizi di convoluzione?
In ogni modo nel mio corso le funzioni si svolgono più o meno come le ho descritte, un pattern c'è ma allora non mi ci devo fissare e concentrarmi sul capire
Questo vale anche per le trasformate di Laplace e zeta vero? e inevitabilmente anche per gli esercizi di convoluzione?
In ogni modo nel mio corso le funzioni si svolgono più o meno come le ho descritte, un pattern c'è ma allora non mi ci devo fissare e concentrarmi sul capire
"DriveKnight":
Questo vale anche per le trasformate di Laplace e zeta vero? e inevitabilmente anche per gli esercizi di convoluzione?
Sì.
"DriveKnight":
In ogni modo nel mio corso le funzioni si svolgono più o meno come le ho descritte, un pattern c'è ma allora non mi ci devo fissare e concentrarmi sul capire
Mi sembra un'ottima idea... Già qui sul forum di Analisi superiore puoi trovare diversi esercizi sulle trasformate zeta, di Laplace e di Fourier (con interessanti interventi non solo del sottoscritto, ma anche di altri). Poi se hai bisogno per un esercizio specifico siamo qua...
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