Confronto esercizio T. di Laplace?
Salve a tutti, premesso che è da qualche giorno che ho studiato la trasformata di Laplace, volevo confrontarmi con voi col seguente esercizio.
$ L^-1[e^-(pis)/((s-3)^2+4)] $
Il risultato che mi esce è :
$ -i/8*e^((3+4i-pi)*t)+i/8*e^((3-4i-pi)*t) $
Ringrazio tutti in anticipo.
$ L^-1[e^-(pis)/((s-3)^2+4)] $
Il risultato che mi esce è :
$ -i/8*e^((3+4i-pi)*t)+i/8*e^((3-4i-pi)*t) $
Ringrazio tutti in anticipo.
Risposte
Ciao Omi,
Non mi risulta...
Mi risulta invece:
$\mathcal{L}^{- 1} [e^{-\pi s}/((s-3)^2+4)] = 1/2 e^(3(t -\pi)) u(t - \pi) sin(2(t - \pi)) = 1/2 e^(3(t -\pi)) u(t - \pi) sin(2t) $
Non mi risulta...
Mi risulta invece:
$\mathcal{L}^{- 1} [e^{-\pi s}/((s-3)^2+4)] = 1/2 e^(3(t -\pi)) u(t - \pi) sin(2(t - \pi)) = 1/2 e^(3(t -\pi)) u(t - \pi) sin(2t) $
Ciao pillo, ho capito come lo hai svolto.. Io ho svolto il quadrato di binomio sotto e ho trattato tutto come una funzione razionale. È errato?
Alla fine applico la seguente formula :
$ L[y(x-xo)]=e^(-sxo)*Y(s) $
che anti trasformando:
$ y(x-xo)=L^-1[e^(-sxo)*Y(s)] $
dove Y(s) è la trasformata di y(t)
Alla fine applico la seguente formula :
$ L[y(x-xo)]=e^(-sxo)*Y(s) $
che anti trasformando:
$ y(x-xo)=L^-1[e^(-sxo)*Y(s)] $
dove Y(s) è la trasformata di y(t)
Dai un'occhiata ad esempio qui, riga Time shifting della tabella Properties of the unilateral Laplace transform
Si ho visto pillo. Ma allora il mio prof ha sbagliato? Perchè ho preso questa formula dalle sue dispense..
Forse avrò frainteso io la teoria non so.. comunque a parte l'ultima trasformazione che ti ringrazio avermi chiarito, è possibile procedere svolgendo il quadrato di binomio e trattando quindi la funzione razionale giusto?
Forse avrò frainteso io la teoria non so.. comunque a parte l'ultima trasformazione che ti ringrazio avermi chiarito, è possibile procedere svolgendo il quadrato di binomio e trattando quindi la funzione razionale giusto?
@Omi: Ma perché vuoi complicare il calcolo?
La tua antitrasformanda è del tipo $X(s) := e^(-pi s) * Y(s-3)$, con $Y(s) = 1/(s^2 + 4)$.
Dalla tabella delle trasformate di base sai che:
$Y(s) = 1/2 mathcal(L)["u"(t) sin(2t)]\ =>\ mathcal(L)^(-1)[Y(s)] = 1/2 "u"(t) sin(2t) =: y(t)$,
quindi basta applicare le proprietà della trasformata per calcolare l'antitrasformata di $X$.
Hai:
$mathcal(L)^(-1)[X(s)] = mathcal(L)^(-1)[e^(-pi s) * Y(s-3)] = mathcal(L)^(-1)[Y(s-3)]|_(t=t-pi)$,
perciò:
$mathcal(L)^(-1)[X(s)] = e^(3 t) y(t)|_(t=t-pi) = e^(3(t-pi))* 1/2 "u"(t-pi) sin(2(t-pi)) = 1/2 e^(3(t-pi)) "u"(t-pi) sin(2t)$
come già trovato da pillo.
La tua antitrasformanda è del tipo $X(s) := e^(-pi s) * Y(s-3)$, con $Y(s) = 1/(s^2 + 4)$.
Dalla tabella delle trasformate di base sai che:
$Y(s) = 1/2 mathcal(L)["u"(t) sin(2t)]\ =>\ mathcal(L)^(-1)[Y(s)] = 1/2 "u"(t) sin(2t) =: y(t)$,
quindi basta applicare le proprietà della trasformata per calcolare l'antitrasformata di $X$.
Hai:
$mathcal(L)^(-1)[X(s)] = mathcal(L)^(-1)[e^(-pi s) * Y(s-3)] = mathcal(L)^(-1)[Y(s-3)]|_(t=t-pi)$,
perciò:
$mathcal(L)^(-1)[X(s)] = e^(3 t) y(t)|_(t=t-pi) = e^(3(t-pi))* 1/2 "u"(t-pi) sin(2(t-pi)) = 1/2 e^(3(t-pi)) "u"(t-pi) sin(2t)$
come già trovato da pillo.
No lo so avete ragione hahaa. È che essendo alle prime armi chiedevo solo delle conferme..
Comunque gugo mi confermi che la seguente formula è sbagliata?
Comunque gugo mi confermi che la seguente formula è sbagliata?
"Omi":
Alla fine applico la seguente formula :
$ L[y(x-xo)]=e^(-sxo)*Y(s) $
che anti trasformando:
$ y(x-xo)=L^-1[e^(-sxo)*Y(s)] $
dove Y(s) è la trasformata di y(t)
È sbagliato il segno nell'esponente dell'esponenziale.
Quella giusta è:
$mathcal(L)[y(x - x_0)] = e^(x_0s) mathcal(L)[y(x)] = e^(x_0 s) Y(s)$.
Quella giusta è:
$mathcal(L)[y(x - x_0)] = e^(x_0s) mathcal(L)[y(x)] = e^(x_0 s) Y(s)$.
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