Condizioni di Cauchy-Riemann

[anto_zoolander]

Devo mostrare la seguente cosa
per olomorfia di una funzione complessa intendo semplicemente che sia di classe $C^1(Omega)$
Ma qualcuno sa dirmi perchè si usa questo nome?

data una funzione $f:Omega->CC$ con $OmegasubseteqCC$ aperto.

$f$ è olomorfa in $Omega$ se e solo se valgono le condizioni di C/R e $Re(f),Im(f)$ hanno derivate parziali continue in $Omega$

comincio con $=>$

Intanto se $f$ è derivabile in $z_0$ si ottiene $f'(z_0)=lim_(h->0)(f(z_0+h)-f(z_0))/h$

è chiaro che l'essere olomorfa implica l'esistenza delle derivate parziali in quanto se vale in un intorno di $(0,0)$ con $h=(t,k)$ varrà anche per $Deltat=(t,0)$ o $Deltak=(0,k)$ (basterebbe prenderli in norma minore di $h$)

nella definizione di derivata parziale basta considerare(prendo $f_y$ per esempio)

$f'(z_0)= lim_(k->0)(f(z_0+iDeltak)-f(z_0))/(iDeltak)=1/i f_y(z_0)$ e poi $f'(z_0)=f_x(z_0)$

da cui le condizioni di C/R
Poi essendo $f_x=u_x+iv_x$ e $f_y=u_y+iv_y$ dall'olomorfia segue che $f_x,f_y$ devono essere continue e pertanto anche le componenti reale ed immaginaria devono esserle(noti teoremi sui limiti) e quindi avendo $u,v$ derivate parziali continue in $z_0$ sono anche differenziabili.

NB: ho dato per scontata la continuità delle parziali di $f$ perchè $f'(z)=f_x(z)$ e $f'(z)=1/i f_y(z)$

per il viceversa il fatto che esistano le derivate parziali delle componenti, ci garantisce che esistano $f_x,f_y$ e inoltre sono continue perchè le componenti di ciascuna lo sono.

Devo concludere che $f$ sia derivabile, suppongo dalle condizioni di C/R.
Un'idea per concludere?

[cooper1]

Ho pensato a questo: fissiamo $z_0 in Omega$
Usando Taylor e le condizioni di CR abbiamo che
$f(z_0 +h)-f(z_0)= u(x_0+h_x , y_0+h_y)-u(x_0,y_0)+i v(x_0+h_x,y_0+h_y)-i v(x_0,y_0)= (del_x u + i del_x v)_0 h_x + o(h_x) + (del_y u+i del_y v)_0 h_y +o(h_y) = (del_x u +i del_x v)_0 (h_x +i h_y) +o(h_x)+o(h_y)$
Dividendo ora per h e prendendo il limite si ha $f'(z_0)= (del_x u +i del_x v)(z_0)$
E questo può essere fatto per tutti i punti del dominio e quindi la funzione è olomorfa nel dominio

[gugo82]

Sì, l’idea è quella: per mostrare che $f$ è olomorfa basta far vedere che esiste il limite del rapporto incrementale complesso; separando il reale dall’immaginario, Taylor al primo ordine ed usando le CR riesci a far vedere che il limite esiste.

[dissonance]

Su Real and complex analysis, pag. 231 della terza edizione, è spiegato bene.