Completezza di uno spazio normato
Bentrovati tutti
Mi aggancio a questo thread perché ho un dubbio sullo stesso argomento: mi scuso se ho sbagliato a scrivere qui
Il dubbio è relativo al fatto che la completezza di uno spazio normato dipenda dalla norma scelta, concetto più volte espresso durante il corso che sto seguendo. Ed il dubbio è grave, perché indice che non ho capito qualcosa di fondamentale.
Partiamo da un semplice esempio mostrato in aula: si mostra che lo spazio $ C^0[-1,1] $ dotato di norma integrale $ || f|| =int_(-1)^(1) |f(x)| dx $ non è completo. A tal fine, si sceglie la seguente successione:
se $ x in [0,1] $ , $ f(x)=x^(1/n) $
se $ x in [-1,0] $ , $ f(x)=-|x|^(1/n) $
Con la norma integrale, questa successione risulta di Cauchy. La successione, però, converge alla funzione
$ f(x)= 1 $ per $ x in [0,1] $
$ f(x)= -1 $ per $ x in [-1,0] $
che non appartiene a $ C^0[-1,1] $ e ciò basta per affermare che $ C^0[-1,1] $ dotato di norma integrale non è completo: ho trovato una successione di Cauchy che non converge ad un limite che appartiene allo stesso spazio
Il mio dilemma ora è:
1) non si giunge alla stessa conclusione anche con la norma $ || f|| = max |f(x)| $ in $ x in [-1,1] $ ?
2) La successione avrà sempre lo stesso limite e, quindi, pur risultando di Cauchy con una determinata norma, lo spazio dovrà comunque considerarsi non completo, o no?
3) Successivamente si mostra che qualunque $ C^0[a,b] $ (con a e b reali finiti) è di Banach "con la norma giusta": ma $ C^0[-1,1] $ , ad esempio, non s'è mostrato che non lo è? (e cos'è la "norma giusta"?)
Ringrazio anticipatamente chi vorrà mostrarmi dove sbaglio
Mi aggancio a questo thread perché ho un dubbio sullo stesso argomento: mi scuso se ho sbagliato a scrivere qui
Il dubbio è relativo al fatto che la completezza di uno spazio normato dipenda dalla norma scelta, concetto più volte espresso durante il corso che sto seguendo. Ed il dubbio è grave, perché indice che non ho capito qualcosa di fondamentale.
Partiamo da un semplice esempio mostrato in aula: si mostra che lo spazio $ C^0[-1,1] $ dotato di norma integrale $ || f|| =int_(-1)^(1) |f(x)| dx $ non è completo. A tal fine, si sceglie la seguente successione:
se $ x in [0,1] $ , $ f(x)=x^(1/n) $
se $ x in [-1,0] $ , $ f(x)=-|x|^(1/n) $
Con la norma integrale, questa successione risulta di Cauchy. La successione, però, converge alla funzione
$ f(x)= 1 $ per $ x in [0,1] $
$ f(x)= -1 $ per $ x in [-1,0] $
che non appartiene a $ C^0[-1,1] $ e ciò basta per affermare che $ C^0[-1,1] $ dotato di norma integrale non è completo: ho trovato una successione di Cauchy che non converge ad un limite che appartiene allo stesso spazio
Il mio dilemma ora è:
1) non si giunge alla stessa conclusione anche con la norma $ || f|| = max |f(x)| $ in $ x in [-1,1] $ ?
2) La successione avrà sempre lo stesso limite e, quindi, pur risultando di Cauchy con una determinata norma, lo spazio dovrà comunque considerarsi non completo, o no?
3) Successivamente si mostra che qualunque $ C^0[a,b] $ (con a e b reali finiti) è di Banach "con la norma giusta": ma $ C^0[-1,1] $ , ad esempio, non s'è mostrato che non lo è? (e cos'è la "norma giusta"?)
Ringrazio anticipatamente chi vorrà mostrarmi dove sbaglio
Risposte
1) Dipende da cosa vuol dire la domanda...
Se la domanda è da intendersi nel senso che la successione $f_n$ è di Cauchy anche rispetto a $||*||_oo$ (così si denota la norma del massimo), la risposta è: no, la successione $(f_n)$ non è di Cauchy rispetto a $||*||_oo$ (dunque il fatto che non converga non inficia la completezza).
Se la domanda è da intendersi nel senso che $||*||_oo$ è una norma rispetto alla quale $C^0$ non è completo (perché esistono successioni di Cauchy in norma non convergenti in norma), la risposta è: no, lo spazio $C^0$ dotato di $||*||_oo$ è sempre completo. Infatti la norma $||*||_oo$ induce la convergenza uniforme e già sai (Analisi II) che una successione è uniformemente convergente se e solo se è soddisfa il Criterio di Convergenza di Cauchy e che se una successione di funzioni continue converge uniformemente, allora il suo limite è continuo.
Se la domanda è da intendersi nel senso che la successione $f_n$ è di Cauchy anche rispetto a $||*||_oo$ (così si denota la norma del massimo), la risposta è: no, la successione $(f_n)$ non è di Cauchy rispetto a $||*||_oo$ (dunque il fatto che non converga non inficia la completezza).
Se la domanda è da intendersi nel senso che $||*||_oo$ è una norma rispetto alla quale $C^0$ non è completo (perché esistono successioni di Cauchy in norma non convergenti in norma), la risposta è: no, lo spazio $C^0$ dotato di $||*||_oo$ è sempre completo. Infatti la norma $||*||_oo$ induce la convergenza uniforme e già sai (Analisi II) che una successione è uniformemente convergente se e solo se è soddisfa il Criterio di Convergenza di Cauchy e che se una successione di funzioni continue converge uniformemente, allora il suo limite è continuo.
Grazie mille gugo82, ora è chiaro. (Grazie anche per aver spostato la domanda. Pardon)
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