Completezza di L2

[19xx]

Non mi è ben chiaro un punto della dimostrazione:



( dove
$ L^2 =$ {successioni {ak} tali che $ sum^(+oo) (a_k)^2<+oo $ }

$ d_2 (a,b)=[sum^(+oo) (a_k-b_k)^2]^(1/2) $ )

In particolare non mi è chiaro l'ultimo passaggio:
perché c'è bisogno di far vedere che $ {a_k} $ è limitata? Intendo dire: dal momento che ho preso $ {a_k} $ in L2, non era scontato, per come ho definito gli elementi di L2?
E se anche non lo fosse stato, come faccio allora a dire che $ d(a_(k_0(ε)), O) $ è limitata? (cosa che, invece, è data per scontata?)

[dissonance]

Stai pasticciando con gli indici. Ogni elemento \(a_k\) è a sua volta una successione. Io scriverei
\[
a_k=a_k(n), \qquad \text{dove }\sum_{n=1}^\infty a_k(n)^2<\infty.\]
Quando dice che la successione è limitata, intende la successione di successioni. Quindi devi dimostrare che
\[
\sqrt{\sum_{n=1}^\infty a_k(n)^2}\le C \]
per ogni \(k\).

[19xx]

"dissonance":Stai pasticciando con gli indici. Ogni elemento \(a_k\) è a sua volta una successione. Io scriverei
\[
a_k=a_k(n), \qquad \text{dove }\sum_{n=1}^\infty a_k(n)^2<\infty.\]
Quando dice che la successione è limitata, intende la successione di successioni. Quindi devi dimostrare che
\[
\sqrt{\sum_{n=1}^\infty a_k(n)^2}\le C \]
per ogni \(k\).

Penso di esserci, ma vorrei comunque conferma: $ a_(k_(0(ε))) $ è quindi un elemento della successione di successioni? E' per questo che so che $ d(a_(k_(0(ε))),O) $ è limitata? (Ovvero: la prendo in L2 e quindi è limitata)