Compactification beta.
Sia la Dirac mass \( \delta : X \to M(X) \) dove \( M(X) = \{ \text{medie su } X \} \). Identifichiamo abusivamente quest'immagine con \(X\). Definiamo \( \beta X \) essere la chiusura di \(X\) in \( M(X)\). Si può dimostrare che
\[ \beta X = \{ \mu \in M(X) : \mu(A) \in \{ 0,1\} \forall A \subseteq X \} \]
Sia \(f : X \to X \) una biiezioni su \(X\)
i) Dimostra che esiste un unico omeomorfismo \( \beta f : \beta X \to \beta X \) che estende \(f\).
ii) Dimostra che \( \beta f: \beta X \to \beta X \) possiede un punto fisso se e solo se \(f \) lo possiede.
Hint: Dimostra prima che l'estensione \( \beta \mathbb{Z} \to \beta \mathbb{Z} \) della mappa \( \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \), \( n \mapsto n+1 \) non possiede punti fissi.
Morale: Le medie invarianti in \(M(X)\), generalmente non stanno in \( \beta X \).
Allora per il punto ii) non ho nessuna idea.
Per il punto i) invece penso che l'omeomorfismo è definito da
\[ \mu \mapsto f \mu \]
dove \( f \mu : \mathcal{P}(X) \to [0,1] \)
\[ A \mapsto \mu(f^{-1}A) \]
ma non sono sicuro di come dimostrare che è un omeomorfismo, ne che è unico, e poi in che senso che "estende" \(f\) ?
\[ \beta X = \{ \mu \in M(X) : \mu(A) \in \{ 0,1\} \forall A \subseteq X \} \]
Sia \(f : X \to X \) una biiezioni su \(X\)
i) Dimostra che esiste un unico omeomorfismo \( \beta f : \beta X \to \beta X \) che estende \(f\).
ii) Dimostra che \( \beta f: \beta X \to \beta X \) possiede un punto fisso se e solo se \(f \) lo possiede.
Hint: Dimostra prima che l'estensione \( \beta \mathbb{Z} \to \beta \mathbb{Z} \) della mappa \( \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \), \( n \mapsto n+1 \) non possiede punti fissi.
Morale: Le medie invarianti in \(M(X)\), generalmente non stanno in \( \beta X \).
Allora per il punto ii) non ho nessuna idea.
Per il punto i) invece penso che l'omeomorfismo è definito da
\[ \mu \mapsto f \mu \]
dove \( f \mu : \mathcal{P}(X) \to [0,1] \)
\[ A \mapsto \mu(f^{-1}A) \]
ma non sono sicuro di come dimostrare che è un omeomorfismo, ne che è unico, e poi in che senso che "estende" \(f\) ?
Risposte
Se dimostri che beta è un funtore, I) segue dalla funtorialità, e penso proprio sia anche una monade (sicché l'estensione di f è intesa lungo l'unità che manda un punto nella sua delta di Dirac). Infatti delta fattorizza lungo l'inclusione ovvia di beta(X) in M(X), e questa mappa è l'unità della supposta struttura di monade su beta, che a questo punto cosa dovrebbe essere, una versione measure-teoretica di stone-cech?
(usualmente risponderei dopo aver fatto un conto e in maniera più estesa ma sono in autobus, da telefono).
(usualmente risponderei dopo aver fatto un conto e in maniera più estesa ma sono in autobus, da telefono).
Ecco, ti lascio volentieri verificare che $\beta$ è un funtore (cosicché manderà isomorfismi in isomorfismi); l'unità della monade l'abbiamo trovata, la moltiplicazione \(m : \beta\beta X \to \beta X\) considera \(\beta\beta X = \{\Theta \in M(\beta X)\mid \forall E.\Theta(E)\in\{0,1\}\}\) dove $E$ viaggia nella \(\sigma\)-algebra su $MX$ generata dalle valutazioni in un evento. Del resto ora possiamo riciclare quello che si fa con la monade di Lawvere-Giry e scrivere che
\[
m(\Theta)(U) := \int_{\mu\in \beta X} \mu(U)d\Theta(\mu)
\] a questo punto siccome \(\mu\in\beta X\), \(m(\Theta)\in\beta X\). L'associatività e l'unitarietà le lascio a te.
Per quanto riguarda l'estensione, è chiaro che l'unità è componentwise mono, quindi l'azione di \(\beta\) sui morfismi è a tutti gli effetti una "estensione": per naturalità,
\[\begin{CD}
A @>f>> B \\
@V\eta_AVV @VV\eta_BV \\
\beta A @>>\beta f> \beta B
\end{CD}\] commuta, il che vuol dire che \(\beta f \) agisce sull'immagine di \(\eta_A\) mandando \(\delta_x\) in \(\delta_{fx}\), e cioè "estendendo" \(f\).
\[
m(\Theta)(U) := \int_{\mu\in \beta X} \mu(U)d\Theta(\mu)
\] a questo punto siccome \(\mu\in\beta X\), \(m(\Theta)\in\beta X\). L'associatività e l'unitarietà le lascio a te.
Per quanto riguarda l'estensione, è chiaro che l'unità è componentwise mono, quindi l'azione di \(\beta\) sui morfismi è a tutti gli effetti una "estensione": per naturalità,
\[\begin{CD}
A @>f>> B \\
@V\eta_AVV @VV\eta_BV \\
\beta A @>>\beta f> \beta B
\end{CD}\] commuta, il che vuol dire che \(\beta f \) agisce sull'immagine di \(\eta_A\) mandando \(\delta_x\) in \(\delta_{fx}\), e cioè "estendendo" \(f\).
Ho detto cazzate eclatanti? Per i punti fissi, chiaramente limplicazione non ovvia è che un punto fisso di beta f ne induce uno per f...
Siccome puoi caratterizzare i punti fissi di \(f : X \to X\) come l'equalizzatore
\[
Fix(f) \to X \overset{f}{\underset{\text{id}}\rightrightarrows} X
\] la funtorialità di \(\beta\) ti dà un'unica mappa \(\beta(Fix(f))\to Fix(\beta f)\), che è anche iniettiva, di modo che un punto fisso per $f$ induce il punto fisso \(\delta_{x}\) per \(\beta f\).
A questo punto però non c'è nessun motivo per cui un punto fisso per \(\beta f\), ossia una misura tale che \(\mu(f^\leftarrow U)=U\) per ogni $U$, induca un punto fisso per $f$, e probabilmente la cosa è vera solo in virtù del fatto che \(\mu\) è una "media" in \(\beta X\), sicché probabilmente faresti meglio a spiegare come è definita precisamente una media. Tra l'altro, non hai nemmeno detto dove agisce \(\beta\), su tutti gli spazi misurabili? Sui polacchi? Su mia nonna? E il problema ulteriore è che non so come il controesempio di \(n\mapsto n+1 : \mathbb Z\to \mathbb Z\) dimostri il caso generale...
\[
Fix(f) \to X \overset{f}{\underset{\text{id}}\rightrightarrows} X
\] la funtorialità di \(\beta\) ti dà un'unica mappa \(\beta(Fix(f))\to Fix(\beta f)\), che è anche iniettiva, di modo che un punto fisso per $f$ induce il punto fisso \(\delta_{x}\) per \(\beta f\).
A questo punto però non c'è nessun motivo per cui un punto fisso per \(\beta f\), ossia una misura tale che \(\mu(f^\leftarrow U)=U\) per ogni $U$, induca un punto fisso per $f$, e probabilmente la cosa è vera solo in virtù del fatto che \(\mu\) è una "media" in \(\beta X\), sicché probabilmente faresti meglio a spiegare come è definita precisamente una media. Tra l'altro, non hai nemmeno detto dove agisce \(\beta\), su tutti gli spazi misurabili? Sui polacchi? Su mia nonna? E il problema ulteriore è che non so come il controesempio di \(n\mapsto n+1 : \mathbb Z\to \mathbb Z\) dimostri il caso generale...
Beh?! Mi interessa questa domanda, se qualcuno ha qualcosa da dire parli ora o taccia per \(n \ge 0\).
Penso che per "media" qui si intenda una funzione \(\mu\) sugli insiemi boreliani di \(X\) che è finitamente additiva e tale che \(\mu(X)=1\).
Ciao, scusatemiiii non ho ancora avuto il tempo di leggere le risposte che ho dovuto correggere degli esami! Lo farò a breve
megas_archon! Allora ti ringrazio molto per la tua risposta esaustiva. Diciamo che i funtori e così non sono proprio il mio campo della matematica quindi non capisco molto bene ciò che dici. Ad esempio non ho mai sentito "la monade di Lawvere-Giry" cos'è ? Ma capisco il senso a grandi linee di ciò che dici comunque.
Penso che il caso \( n \mapsto n+1 \) serva per dimostrare nel caso generale qualcosa sulle orbite, ma non sono sicuro e non mi è chiaro come.
Penso che il caso \( n \mapsto n+1 \) serva per dimostrare nel caso generale qualcosa sulle orbite, ma non sono sicuro e non mi è chiaro come.
Grazie.
Sia \( f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) tale che \( f(n) = n+1\) e supponiamo che \( \beta f \) possiede un punto fisso, \( \mu \in \beta \mathbb{Z} \), i.e. \( \beta f(\mu)=\mu \). Abbiamo che per densità di \( \beta \mathbb{Z} \) esiste una rete \( \delta_{x_{\alpha}} \) tale che \( \lim \delta_{x_{\alpha}}= \mu \). Inoltre data un azione \( G \curvearrowright X \) abbiamo che ne definisce una sulle medie, in particolare \( g \delta_x = \delta_{gx} \). Pertanto
\[ \lim \delta_{x_{\alpha}} = \mu = \beta f(\mu) = \lim \beta f (\delta_{x_{\alpha}} ) = \lim f(x_{\alpha}) = \lim \delta_{x_{\alpha}+1} = \lim 1 \delta_{x_{\alpha}} = 1 \mu \]
pertanto abbiamo che \( 1 \mu = \mu \). Poiché \(1 \) genera \( \mathbb{Z} \) abbiamo che \( n \mu = \mu \). Pertanto abbiamo che \( \mu \) è una media invariante. Inoltre abbiamo che l'azione considerata su \( \mathbb{Z} \) è l'azione che \(f\) induce. Pertanto \( \mu ( f^{-1} A) = \mu(A) \) o equivalentemente \( \mu(fA)=\mu(A) \) poiché \(f \) biiettiva. Sia pertanto \( A=\{ 2k : k \in \mathbb{Z} \) e \( B= \{ 2k+1 : k \in \mathbb{Z} \} \), abbiamo che \( \mu(B) \in \{0,1\} \), ma \( \mu(B) = \mu(f^{-1} B) = \mu(A) \). Poiché \(A \) e \(B\) sono disgiunti e per l'additività della media abbiamo che \( \mu(B)=\mu(A)=0\), dunque abbiamo che \( \mu(\mathbb{Z})= \mu(A) + \mu(B) =0 \) contraddizione poiché \( \mu(\mathbb{Z})=1\). Pertanto \( \beta f\) non possiede punti fissi.
Più in generale. Per \( A \subseteq X \) tale che \( A \) e \(f(A) \) sono disgiunti, per lo stesso argomento di prima con \(A\) e \(B\), abbiamo che hanno misura \(0\). Sia \( \mu \in \beta X \) un punto fisso di \( \beta f \). Sia come prima \( \delta_{x_{\alpha}} \) una rete che converge a \( \mu \). Allora per \(A \subseteq X \) abbiamo che
\[ \lim \delta_{x_{\alpha}} (A) = \mu(A) = \beta f (\mu) (A) = \lim \beta f ( \delta_{x_{\alpha}} ) (A) \]
\[ = \lim \delta_{f(x_{\alpha})}(A) = \lim \delta_{x_{\alpha}} (f^{-1}A) = \mu (f^{-1}A) \]
pertanto \( \mu \) è invariante.
Ora spezziamo \(X\) in 3 insiemi disgiunti, \(A,B,C\). Costruiamo \(A,B,C \) nel seguente modo.
Per ogni orbita infinita \( \operatorname{orb}(x) \) prendiamo un punto su due in \(A\), i.e. \( f^{2k}(x) \in A \) per \(k \in \mathbb{Z} \), e \(f^{2k+1}(x) \in B \). Tutte le orbite sono della forma \( \operatorname{orb}(x)= \{ \ldots, f^{-2}(x) , f^{-1}(x),x,f(x),f^2(x),\ldots \} \) per qualche \(x\in X \).
Per le orbite di cardinalità pari prendiamo come prima un punto su due in \(A\) e gli altri in \(B\). Per le orbite di cardinalità dispari facciamo lo stesso tranne l'ultimo punto, diciamo che \( \operatorname{orb}(x)=\{x,f(x),\ldots,f^n(x) \} \) con \( n \) pari (\(f^{n+1}(x)=x\)). Prendiamo \(f^{2k}(x) \in A \) per \(k=0,\ldots, (n-2)/2\) e \( f^{2k+1} (x) \in B \) per \(k=0,\ldots,(n-2)/2\) e \( f^n (x) \in C \).
Allora abbiamo che \(A,B ,C \) sono disgiunti poiché \( n \mapsto n+1 \) non ha punti fissi e \( B = f(A) \), pertanto \( \mu(B) = \mu( f^{-1} B) = \mu(A) = 0 \). Inoltre \( C \) è disgiunto da \( f(C) \) pertanto \( \mu(C) = \mu(f^{-1}C) = 0 \). Petanto
\[ \mu(X) = \mu(A) + \mu(B) + \mu(C) = 0 \]
contraddizione poiché \( \mu(X) = 1 \).
\[ \lim \delta_{x_{\alpha}} = \mu = \beta f(\mu) = \lim \beta f (\delta_{x_{\alpha}} ) = \lim f(x_{\alpha}) = \lim \delta_{x_{\alpha}+1} = \lim 1 \delta_{x_{\alpha}} = 1 \mu \]
pertanto abbiamo che \( 1 \mu = \mu \). Poiché \(1 \) genera \( \mathbb{Z} \) abbiamo che \( n \mu = \mu \). Pertanto abbiamo che \( \mu \) è una media invariante. Inoltre abbiamo che l'azione considerata su \( \mathbb{Z} \) è l'azione che \(f\) induce. Pertanto \( \mu ( f^{-1} A) = \mu(A) \) o equivalentemente \( \mu(fA)=\mu(A) \) poiché \(f \) biiettiva. Sia pertanto \( A=\{ 2k : k \in \mathbb{Z} \) e \( B= \{ 2k+1 : k \in \mathbb{Z} \} \), abbiamo che \( \mu(B) \in \{0,1\} \), ma \( \mu(B) = \mu(f^{-1} B) = \mu(A) \). Poiché \(A \) e \(B\) sono disgiunti e per l'additività della media abbiamo che \( \mu(B)=\mu(A)=0\), dunque abbiamo che \( \mu(\mathbb{Z})= \mu(A) + \mu(B) =0 \) contraddizione poiché \( \mu(\mathbb{Z})=1\). Pertanto \( \beta f\) non possiede punti fissi.
Più in generale. Per \( A \subseteq X \) tale che \( A \) e \(f(A) \) sono disgiunti, per lo stesso argomento di prima con \(A\) e \(B\), abbiamo che hanno misura \(0\). Sia \( \mu \in \beta X \) un punto fisso di \( \beta f \). Sia come prima \( \delta_{x_{\alpha}} \) una rete che converge a \( \mu \). Allora per \(A \subseteq X \) abbiamo che
\[ \lim \delta_{x_{\alpha}} (A) = \mu(A) = \beta f (\mu) (A) = \lim \beta f ( \delta_{x_{\alpha}} ) (A) \]
\[ = \lim \delta_{f(x_{\alpha})}(A) = \lim \delta_{x_{\alpha}} (f^{-1}A) = \mu (f^{-1}A) \]
pertanto \( \mu \) è invariante.
Ora spezziamo \(X\) in 3 insiemi disgiunti, \(A,B,C\). Costruiamo \(A,B,C \) nel seguente modo.
Per ogni orbita infinita \( \operatorname{orb}(x) \) prendiamo un punto su due in \(A\), i.e. \( f^{2k}(x) \in A \) per \(k \in \mathbb{Z} \), e \(f^{2k+1}(x) \in B \). Tutte le orbite sono della forma \( \operatorname{orb}(x)= \{ \ldots, f^{-2}(x) , f^{-1}(x),x,f(x),f^2(x),\ldots \} \) per qualche \(x\in X \).
Per le orbite di cardinalità pari prendiamo come prima un punto su due in \(A\) e gli altri in \(B\). Per le orbite di cardinalità dispari facciamo lo stesso tranne l'ultimo punto, diciamo che \( \operatorname{orb}(x)=\{x,f(x),\ldots,f^n(x) \} \) con \( n \) pari (\(f^{n+1}(x)=x\)). Prendiamo \(f^{2k}(x) \in A \) per \(k=0,\ldots, (n-2)/2\) e \( f^{2k+1} (x) \in B \) per \(k=0,\ldots,(n-2)/2\) e \( f^n (x) \in C \).
Allora abbiamo che \(A,B ,C \) sono disgiunti poiché \( n \mapsto n+1 \) non ha punti fissi e \( B = f(A) \), pertanto \( \mu(B) = \mu( f^{-1} B) = \mu(A) = 0 \). Inoltre \( C \) è disgiunto da \( f(C) \) pertanto \( \mu(C) = \mu(f^{-1}C) = 0 \). Petanto
\[ \mu(X) = \mu(A) + \mu(B) + \mu(C) = 0 \]
contraddizione poiché \( \mu(X) = 1 \).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo