Come si fa a riconoscere subito se una funzione è assolutamente continua?
Salve a tutti, volevo chiedere a voi esperti, come si fa a riconoscere una funzione assolutamente continua. La definizione di assoluta continuità di una funzione dice infatti :
Sia f una funzione continua su [a,b] si dice assolutamente continua se è deribabile quasi ovunque, dx/dt ∈ L^1[a,b] e ∀t∈[a,b] risulta $ x(t)=x(a)+int_(a)^(t) dx/dt(s) ds $ .
Preso un esempio :
$ x(t)=(1+t)[u(t+1)-u(t)]+(1-t)[u(t)-u(t-1)] $
Il libro deriva nel senso delle distribuzioni e dice che la sua derivata è quella ordinaria, in quanto x(t) è assolutamente continua. Ma come faccio a sapere che è assolutamente continua? Grazie ancora in anticipo.
Sia f una funzione continua su [a,b] si dice assolutamente continua se è deribabile quasi ovunque, dx/dt ∈ L^1[a,b] e ∀t∈[a,b] risulta $ x(t)=x(a)+int_(a)^(t) dx/dt(s) ds $ .
Preso un esempio :
$ x(t)=(1+t)[u(t+1)-u(t)]+(1-t)[u(t)-u(t-1)] $
Il libro deriva nel senso delle distribuzioni e dice che la sua derivata è quella ordinaria, in quanto x(t) è assolutamente continua. Ma come faccio a sapere che è assolutamente continua? Grazie ancora in anticipo.
Risposte
Su un intervallo compatto, come nel tuo caso, il prodotto di funzioni assolutamente continue è una funzione assolutamente continua. Anche se questo non mi sembra immediato da dimostrare usando la definizione che hai dato tu, mentre è relativamente semplice usando la caratterizzazione in termini di partizioni dell'intervallo, ossia "https://it.wikipedia.org/wiki/Continuità_assoluta"
In ogni caso, la tua funzione è somma di prodotti di funzioni assolutamente continue.
In ogni caso, la tua funzione è somma di prodotti di funzioni assolutamente continue.
Grazie per la risposta Dissonance, il dubbio che ho è più che altro sulla funzione gradino. Perchè è assolutamente continua? In 0 non ha un punto di discontinuità?
..
Quinzio gentilissimo grazie. Però a questo punto vorrei chiederti un ulteriore cosa se possibile. Se l'assoluta continuità si applica a funzioni che hanno un numero limitato di punti di discontinuità, allora quali sono le funzioni che non sono assolutamente continue? Potresti farmi un esempio? Grazie ancora.
Se cerchi su Google "funzioni continue ma mai derivabili" ne trovi.
La prima che si incontra e' quella di Weierstrass, ma non e' cosi' facile da capire, anzi non lo e' per niente.
Prova invece a considerare la funzione
$f(x), x \in (0,1]$
$f(x) = 1 $ se $sin(1/x) > 0$ altrimenti $f(x) = 0$
Se ci pensi questa funzione ha infiniti salti tra 0 e 1.
Oppure la funzione, con $x \in \RR, x \in [0,1]$
$f(x) = 1$ se $x \in \QQ$, altrimenti $f(x) = 0$.
Quest'ultima funzione e' 0 quasi ovunque, ma ha un numero infinito di punti in cui e' 1 (nei razionali).
Come saprai, i razionali sono infiniti, ma numerabili, secondo il famoso argomento della diagonale.
Questa funzione ha un nome famoso, che mi sfugge in questo momento.
La prima che si incontra e' quella di Weierstrass, ma non e' cosi' facile da capire, anzi non lo e' per niente.
Prova invece a considerare la funzione
$f(x), x \in (0,1]$
$f(x) = 1 $ se $sin(1/x) > 0$ altrimenti $f(x) = 0$
Se ci pensi questa funzione ha infiniti salti tra 0 e 1.
Oppure la funzione, con $x \in \RR, x \in [0,1]$
$f(x) = 1$ se $x \in \QQ$, altrimenti $f(x) = 0$.
Quest'ultima funzione e' 0 quasi ovunque, ma ha un numero infinito di punti in cui e' 1 (nei razionali).
Come saprai, i razionali sono infiniti, ma numerabili, secondo il famoso argomento della diagonale.
Questa funzione ha un nome famoso, che mi sfugge in questo momento.
Grazie mille Quinzio, mi stai aiutando un sacco in questi giorni.
"Quinzio":
La funzione gradino e' assolutamente continua (secondo la definizione che hai dato tu) perche' e' derivabile quasi ovunque.
Ma la definizione citata comincia "Sia $f$ una funzione continua su $[a,b]$ si dice assolutamente continua se..."
Giustissimo. Ecco cosa succede a rispondere senza pensare. Chiedo scusa. Il mio primo post non ha nulla a che vedere con questo problema. La funzione gradino, non essendo continua, non è neanche assolutamente continua, è chiaro. (Si può osservare che essa soddisfa qualche proprietà delle funzioni assolutamente continue, come quella formula integrale, visto che la sua derivata è la delta di Dirac).
Qui però la funzione non ha discontinuità. Quello che il libro non dice, ma che ha implicitamente fatto, è disegnare un grafico della funzione data. Tale grafico è una funzione "a tenda", affine a tratti, e Lipschitz continua. È chiaro che una funzione Lipschitz continua è assolutamente continua.
Qui però la funzione non ha discontinuità. Quello che il libro non dice, ma che ha implicitamente fatto, è disegnare un grafico della funzione data. Tale grafico è una funzione "a tenda", affine a tratti, e Lipschitz continua. È chiaro che una funzione Lipschitz continua è assolutamente continua.
Quindi praticamente la funzione gradino non è assolutamente continua, ma messa in quell'esercizio da luogo alla funzione "a tenda" come la hai chiamata te o "triangolare" come la chiama il libro che è di per se una funzione continua giusto? Essendo poi che la derivata di tale funzione è definita quasi ovunque, allora la funzione è assolutamente continua è così?
"Omi":
Essendo poi che la derivata di tale funzione è definita quasi ovunque, allora la funzione è assolutamente continua è così?
No. Anche la funzione di Cantor è derivabile quasi ovunque. La definizione che citi non finisce lì.
Capito,grazie ghira. Quindi deve rispettare anche le altre due condizioni che ho scritto, cioè deve essere sommabile e rispettare la condizione $ x(t)=x(a)+int_(a)^(b) dx/dt(s) ds $ . Ma possibile che quindi ogni volta devo verificare queste 3 condizioni? Non esiste un modo più immediato per capire se una funzione è assolutamente continua "ad occhio"? Cioè mi sembra assurdo che ogni volta per capire se la derivata è ordinaria o meno io debba sempre reiterare questo processo..
"dissonance":
Lipschitz continua
Questa è la parola chiave che ti è sfuggita
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