Come antitrasformare una trasformata di Fourier
La richiesta è di antitrasformare la funzione $ F(k) = e^(-2|k-a|) $ con a reale in f(x) e calcolarne la classe di derivabilità.
L'antitrasformata la ottengo da
$f(x)= 1/(sqrt(2pi))int_(-oo)^(oo) F(k)e^(ikx)dk $ ma poi per proseguire devo distinguere i due casi del valore assoluto?
Mi blocco nel calcolare l'integrale degli esponenziali...
L'antitrasformata la ottengo da
$f(x)= 1/(sqrt(2pi))int_(-oo)^(oo) F(k)e^(ikx)dk $ ma poi per proseguire devo distinguere i due casi del valore assoluto?
Mi blocco nel calcolare l'integrale degli esponenziali...
Risposte
Ciao frapp,
Sì, non vedo quale sia il problema; anche se non hai fornito il valore di $a$ ovviamente si ha:
$|k - a| = {(k - a \text{ per } k \ge a),(a - k \text{ per } k < a):} $
Sicché si ha:
$ f(x)= 1/(\sqrt(2\pi))\int_{-\infty}^{+\infty} F(k)e^(i k x)\text{d}k = 1/(\sqrt(2\pi))\int_{-\infty}^{+\infty} e^(-2|k-a|) e^(i k x)\text{d}k = $
$ = 1/(\sqrt(2\pi))[\int_{-\infty}^a e^{-2(a - k)} e^(i k x) \text{d}k + \int_a^{+\infty} e^(-2(k-a)) e^(i k x)\text{d}k] $
Non dovresti avere problemi a calcolare gli ultimi due integrali, ma nel caso potresti dare un'occhiata ad esempio qui, dopo il post di NIcholasGiovs.
"frapp":
poi per proseguire devo distinguere i due casi del valore assoluto?
Sì, non vedo quale sia il problema; anche se non hai fornito il valore di $a$ ovviamente si ha:
$|k - a| = {(k - a \text{ per } k \ge a),(a - k \text{ per } k < a):} $
Sicché si ha:
$ f(x)= 1/(\sqrt(2\pi))\int_{-\infty}^{+\infty} F(k)e^(i k x)\text{d}k = 1/(\sqrt(2\pi))\int_{-\infty}^{+\infty} e^(-2|k-a|) e^(i k x)\text{d}k = $
$ = 1/(\sqrt(2\pi))[\int_{-\infty}^a e^{-2(a - k)} e^(i k x) \text{d}k + \int_a^{+\infty} e^(-2(k-a)) e^(i k x)\text{d}k] $
Non dovresti avere problemi a calcolare gli ultimi due integrali, ma nel caso potresti dare un'occhiata ad esempio qui, dopo il post di NIcholasGiovs.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo