Classificazione punti singolari isolati

[Allee1]

Salve vi scrivo per dei chiarimenti riguardanti l'esercizio seguente:

Classificare i punti singolari isolati di
$ f(z)=(e^(iz)-i)/(cos^2z) $

Procedo determinando gli zeri al numeratore ed al denominatore

$ e^(iz)-i=0rArr e^(iz)=irArr z=pi/2+2kpi $ che indica uno zero del primo ordine

$ cos z=0rArr z=pi/2+kpi $ che indica uno zero del secondo ordine

A questo punto è giusto dire che la funzione ha un polo del primo ordine in $ z=pi/2+kpi $ per ogni k dispari?

Vi ringrazio anticipatamente per le eventuali risposte. Scusate per la banalità della questione ma avrei bisogno di chiarire questo dubbio

[Studente Anonimo]

Veramente, ha un polo del primo ordine per $[z=\pi/2+2k\pi]$. Infatti:

$[z=w+\pi/2+2k\pi] rarr$

$rarr [lim_(z->\pi/2+2k\pi)((e^(iz)-i)(z-\pi/2-2k\pi))/cos^2z=lim_(w->0)([e^(i(w+\pi/2+2k\pi))-i]w)/cos^2(w+\pi/2+2k\pi)=lim_(w->0)(i(e^(iw)-1)w)/sin^2w=-1]$

Analogamente, dovrebbe avere un polo del secondo ordine per $[z=\pi/2+(2k+1)\pi]$.

[Allee1]

Innanzitutto grazie per la risposta!
Però non riesco a capire in che modo hai determinato i poli. Non hai effettuato lo studio degli zeri al numeratore ed al denominatore, verificato che non abbiano zeri in comune, e poi considerando che: "Se $ z_0 $ è uno zero di ordine m per $ f $ allora $ 1/f $ ha in $ z_0 $ un polo di ordine m"?

Inoltre mi rendo conto che il mio calcolo non è corretto, poichè non è rilevante che k sia dispari, ma che la funzione si annulla nei punti
$ z=pi/2(4k+1) $ con $ kin mathbb(Z) $
È corretto affermare che in questi punti la funzione presenta un polo del primo ordine?

[Studente Anonimo]

Poiché:

$[f(z)=(N(z))/(D(z))] ^^ [z=z_0$ radice di ordine $n_N$ di $N(z)] ^^ [z=z_0$ radice di ordine $n_D$ di $D(z)] ^^ [n_D gt= n_N] rarr$

$rarr [z=z_0$ polo di ordine $n_D-n_N$ di $f(z)]$

nel tuo caso:

$[z=\pi/2+2k\pi]$ è radice di ordine $1$ di $N(z)$ e radice di ordine $2$ di $D(z)$

$[z=-\pi/2+2k\pi]$ è radice di ordine $0$ di $N(z)$ e radice di ordine $2$ di $D(z)$