Classificazione linearità equazioni alle derivate parziali (EDP)
Ciao a tutti.
Ho un dubbio riguardo la classificazione delle EDP.
Consideriamo una EDP di secondo grado della forma:
$F(x,y,t, ... , u , (partial u)/(partial x) , (partial u)/(partial y) , (partial u)/(partial t) , ... , (partial^2 u)/(partial x^2) , (partial^2 u)/(partial y^2) , (partial^2 u)/(partial t^2) , ... ) = 0$
La EDP si dice lineare se è lineare in $u$ e nelle sue derivate.
La EDP si dice quasi-lineare se è lineare solo nelle derivate di ordine massimo.
Consideriamo le seguenti due EDP:
$1) (partial u)/(partial t) + u ((partial u)/(partial x)) = 0$
$2) (partial^2 u)/(partial x^2) (partial^2 u)/(partial t^2) - (partial^2 u)/(partial x partial t)=0$
Avrei due domande:
- Sapreste dirmi perché la $(1)$ è considerata quasi lineare?
Io avrei detto che è non-lineare, in quanto l'ordine massimo è 1, ed ho il prodotto $( u ((partial u)/(partial x)) )$
- La $(2)$ è non-lineare giusto?
Ho un dubbio riguardo la classificazione delle EDP.
Consideriamo una EDP di secondo grado della forma:
$F(x,y,t, ... , u , (partial u)/(partial x) , (partial u)/(partial y) , (partial u)/(partial t) , ... , (partial^2 u)/(partial x^2) , (partial^2 u)/(partial y^2) , (partial^2 u)/(partial t^2) , ... ) = 0$
La EDP si dice lineare se è lineare in $u$ e nelle sue derivate.
La EDP si dice quasi-lineare se è lineare solo nelle derivate di ordine massimo.
Consideriamo le seguenti due EDP:
$1) (partial u)/(partial t) + u ((partial u)/(partial x)) = 0$
$2) (partial^2 u)/(partial x^2) (partial^2 u)/(partial t^2) - (partial^2 u)/(partial x partial t)=0$
Avrei due domande:
- Sapreste dirmi perché la $(1)$ è considerata quasi lineare?
Io avrei detto che è non-lineare, in quanto l'ordine massimo è 1, ed ho il prodotto $( u ((partial u)/(partial x)) )$
- La $(2)$ è non-lineare giusto?
Risposte
Cosa vuol dire "essere lineare"?
Se sai questo, è fatta.
Se sai questo, è fatta.
"gugo82":
Cosa vuol dire "essere lineare"?
Se sai questo, è fatta.
Per la singola EDP, essere lineare vuol dire essere lineare in $u$ e nelle sue derivate.
Questo vuol dire che, per esempio, la seguente EDP non è lineare:
$u_(yy^2 )- u^2=0$
"CLaudio Nine":
[quote="gugo82"]Cosa vuol dire "essere lineare"?
Se sai questo, è fatta.
Per la singola EDP, essere lineare vuol dire essere lineare in $u$ e nelle sue derivate.[/quote]
E che vuol dire "essere lineare"?
Siamo sempre lì...
Essere lineare vuol dire che valgono le due proprietà di additività e omogeneità.
Ad esempio, la funzione $u$ è lineare se
$u(x_1+x_2) = u(x_1)+ u(x_2)$
e
$u(alpha x_1) = alpha u(x_1)$
Ad esempio, la funzione $u$ è lineare se
$u(x_1+x_2) = u(x_1)+ u(x_2)$
e
$u(alpha x_1) = alpha u(x_1)$
"CLaudio Nine":
Essere lineare vuol dire che valgono le due proprietà di additività e omogeneità.
Ad esempio, la funzione $u$ è lineare se
$u(x_1+x_2) = u(x_1)+ u(x_2)$
e
$u(alpha x_1) = alpha u(x_1)$
E, nel caso delle tue $F$, sono verificate?
Esamino il caso 1 :
$ 1) (partial u)/(partial t) + u ((partial u)/(partial x)) = 0 $
$F(u_1+u_2)= (partial (u_1+u_2))/(partial t) + (u_1+u_2) ((partial (u_1+u_2))/(partial x)) $
mentre
$F(u_1) + F(u_2)= (partial u_1)/(partial t) + u_1 ((partial u_1)/(partial x))+ (partial u_2)/(partial t) + u_2 ((partial u_2)/(partial x))$
Quindi ho che
$F(u_1+u_2) != F(u_1) + F(u_2)$
Di sicuro non è lineare.
Non capisco perché si dica quasi-lineare. Non è lineare nelle derivate di ordine massimo.
$ 1) (partial u)/(partial t) + u ((partial u)/(partial x)) = 0 $
$F(u_1+u_2)= (partial (u_1+u_2))/(partial t) + (u_1+u_2) ((partial (u_1+u_2))/(partial x)) $
mentre
$F(u_1) + F(u_2)= (partial u_1)/(partial t) + u_1 ((partial u_1)/(partial x))+ (partial u_2)/(partial t) + u_2 ((partial u_2)/(partial x))$
Quindi ho che
$F(u_1+u_2) != F(u_1) + F(u_2)$
Di sicuro non è lineare.
Non capisco perché si dica quasi-lineare. Non è lineare nelle derivate di ordine massimo.
Davvero?
Guardato bene?
Guardato bene?
"gugo82":
Davvero?
Guardato bene?
Ah penso di aver capito.
Le quasi lineari sono quelle EDP in cui ogni termine corrispondente alla derivata di ordine massimo ha esponente massimo uguale a 1, e può far parte di un prodotto in cui esso è un fattore e gli altri fattori possono essere la funzione incognita e le derivate di ordine minore al massimo.
Guarda, semplifichiamo la notazione, visto che del fatto che alcune incognite sono derivate non ce ne importa nulla...
Hai una funzione:
$F(mathbf(x), u, mathbf(p), Q) := F(x_1, x_2, ..., x_N, u, p_1, p_2, ..., p_N, q_(1,1), q_(1,2), ..., q_(1,N), q_(2,1), q_(2,2), ..., q_(2,N), ..., q_(N,1), q_(N,2), ..., q_(N,N))$
dipendente da $d = N^2 + 2N + 1 = (N+1)^2$ variabili definita in un aperto del tipo $Omega xx RR^(d-N) sube RR^d$ (con $Omega sube RR^N$); una PDE del secondo ordine è il problema di stabilire se esistono -ed eventualmente di calcolarle esplicitamente- funzioni $u:Omega -> RR$ di classe $C^2(Omega)$ tali che:
(*) $F(mathbf(x), u(mathbf(x)), Du(mathbf(x)), D^2 u(mathbf(x))) = 0$
identicamente in $Omega$.
La PDE (*) si dice lineare se $F(mathbf(x), u, mathbf(p), Q)$ è lineare rispetto alle ultime $N^2 + N + 1 = d - N$ variabili da cui dipende, mentre si dice quasi-lineare se essa è lineare solo rispetto alle ultime $N^2 = d - 2N - 1$ variabili.
Nel caso di PDE del primo ordine, stessa cosa, ma con $N^2$ variabili (quelle del gruppo $Q$) in meno.
Hai una funzione:
$F(mathbf(x), u, mathbf(p), Q) := F(x_1, x_2, ..., x_N, u, p_1, p_2, ..., p_N, q_(1,1), q_(1,2), ..., q_(1,N), q_(2,1), q_(2,2), ..., q_(2,N), ..., q_(N,1), q_(N,2), ..., q_(N,N))$
dipendente da $d = N^2 + 2N + 1 = (N+1)^2$ variabili definita in un aperto del tipo $Omega xx RR^(d-N) sube RR^d$ (con $Omega sube RR^N$); una PDE del secondo ordine è il problema di stabilire se esistono -ed eventualmente di calcolarle esplicitamente- funzioni $u:Omega -> RR$ di classe $C^2(Omega)$ tali che:
(*) $F(mathbf(x), u(mathbf(x)), Du(mathbf(x)), D^2 u(mathbf(x))) = 0$
identicamente in $Omega$.
La PDE (*) si dice lineare se $F(mathbf(x), u, mathbf(p), Q)$ è lineare rispetto alle ultime $N^2 + N + 1 = d - N$ variabili da cui dipende, mentre si dice quasi-lineare se essa è lineare solo rispetto alle ultime $N^2 = d - 2N - 1$ variabili.
Nel caso di PDE del primo ordine, stessa cosa, ma con $N^2$ variabili (quelle del gruppo $Q$) in meno.
Dal modo in cui scrivi, a naso, mi sembri uno studente di ingegneria.
Per le EDP del secondo ordine la cui soluzione è una funzione $u(x,y)$, usa il seguente criterio per stabilire se la EDP è quasi-lineare o no.
Considera la seguente EDP:
$Au_(text(xx))+ Bu_(yy) + Cu_(xy) + Du_(yx) + Eu_x + Fu_y + Gu = H(x,y)$
I coefficienti $A, B, C, D, E, F, G$ sono funzioni definite in un aperto di $RR^m$.
La EDP si dice lineare se le funzioni $A, B, C, D, E, F, G$ sono funzioni delle sole variabili indipendenti $x$ ed $y$ (e dunque $m=2$).
La EDP si dice quasi-lineare se le funzioni $A, B, C, D$ non sono funzioni di $u_(text(xx)) , u_(yy), u_(xy), u_(yx)$, ovvero non dipendono dalle derivate di ordine massimo (e dunque $m<=5$).
Il concetto si può estendere facilmente quando la EDP è di ordine superiore al secondo e quando anziché avere 2 variabili ne hai $k in NN$.
Per le EDP del secondo ordine la cui soluzione è una funzione $u(x,y)$, usa il seguente criterio per stabilire se la EDP è quasi-lineare o no.
Considera la seguente EDP:
$Au_(text(xx))+ Bu_(yy) + Cu_(xy) + Du_(yx) + Eu_x + Fu_y + Gu = H(x,y)$
I coefficienti $A, B, C, D, E, F, G$ sono funzioni definite in un aperto di $RR^m$.
La EDP si dice lineare se le funzioni $A, B, C, D, E, F, G$ sono funzioni delle sole variabili indipendenti $x$ ed $y$ (e dunque $m=2$).
La EDP si dice quasi-lineare se le funzioni $A, B, C, D$ non sono funzioni di $u_(text(xx)) , u_(yy), u_(xy), u_(yx)$, ovvero non dipendono dalle derivate di ordine massimo (e dunque $m<=5$).
Il concetto si può estendere facilmente quando la EDP è di ordine superiore al secondo e quando anziché avere 2 variabili ne hai $k in NN$.
Grazie gugo e impe
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