Chiusura del complementare di un insieme di misura nulla in $RR^n$
Sia $EsubeRR^n$ di $L^n$-misura nulla. Provare che $RR^n\\E$ è denso in $RR^n$.
Mi basta mostrare che la parte interna di $E$ è vuota. Intanto definiamo $\mu^**$ la misura esterna di $L^n$. Abbiamo che $Int(E)subeE$ per cui per monotonia $u^**(Int(E))<=u^**(E)=0$, ma poichè le misure sono positive allora $u^**(Int(E))=0$ per cui $Int(E)$ è $L^n$-misurabile e $L^n(Int(E))=0$. Se per assurdo $Int(E)!=∅$ allora siccome $Int(E)$ è aperto preso $x inE$ $EEr>0$ tale che $B(x,r)subeInt(E)$. Per gli stessi ragionamenti di prima si ha che $B(x,r)$ è $L^n$-misurabile e $L^n(B(x,r))=0$, ma siccome $r>0$ allora $B(x,r)notinRR^(n-1)$ e perciò non può avere misura nulla. Quindi necessariamente $Int(E)=∅$. Intanto volevo sapere se fosse tutto corretto e poi se ci fosse un modo più "semplice e diretto" per risolverlo, grazie.
Mi basta mostrare che la parte interna di $E$ è vuota. Intanto definiamo $\mu^**$ la misura esterna di $L^n$. Abbiamo che $Int(E)subeE$ per cui per monotonia $u^**(Int(E))<=u^**(E)=0$, ma poichè le misure sono positive allora $u^**(Int(E))=0$ per cui $Int(E)$ è $L^n$-misurabile e $L^n(Int(E))=0$. Se per assurdo $Int(E)!=∅$ allora siccome $Int(E)$ è aperto preso $x inE$ $EEr>0$ tale che $B(x,r)subeInt(E)$. Per gli stessi ragionamenti di prima si ha che $B(x,r)$ è $L^n$-misurabile e $L^n(B(x,r))=0$, ma siccome $r>0$ allora $B(x,r)notinRR^(n-1)$ e perciò non può avere misura nulla. Quindi necessariamente $Int(E)=∅$. Intanto volevo sapere se fosse tutto corretto e poi se ci fosse un modo più "semplice e diretto" per risolverlo, grazie.
Risposte
Va bene così, l'unica cosa è che potevi evitare questo passaggio:
non ha alcun senso.
"andreadel1988":
ma siccome $r>0$ allora $B(x,r)notinRR^(n-1)$ e perciò non può avere misura nulla.
non ha alcun senso.
"otta96":
Va bene così, l'unica cosa è che potevi evitare questo passaggio:
[quote="andreadel1988"] ma siccome $r>0$ allora $B(x,r)notinRR^(n-1)$ e perciò non può avere misura nulla.
non ha alcun senso.[/quote]
Come mai? C'è nel senso tu dici che è tautologico il fatto che le palle euclidee non hanno misura nulla? Nel senso intuitivamente si, ma farne una dimostrazione ci dovrei pensare...
"andreadel1988":
$B(x,r)notinRR^(n-1)$
Eh?
"andreadel1988":
[quote="otta96"]Va bene così, l'unica cosa è che potevi evitare questo passaggio:
[quote="andreadel1988"] ma siccome $r>0$ allora $B(x,r)notinRR^(n-1)$ e perciò non può avere misura nulla.
non ha alcun senso.[/quote]
Come mai? C'è nel senso tu dici che è tautologico il fatto che le palle euclidee non hanno misura nulla? Nel senso intuitivamente si, ma farne una dimostrazione ci dovrei pensare...[/quote]
A parte che hai scritto "non appartiene" invece di "non contenuto", in ogni caso non può dedurre in quel modo che le palle hanno misura positiva (ci sono insiemi trascurabili densi in $\mathbb{R}^n$...)
Ti serve almeno una assunzione sul comportamento della misura, che solitamente è definita in modo da avere la proprietà intuitiva che la misura delle palle \(B(x,r)\) sia (un multiplo scalare del) volume $n$-dimensionale "solito": il volume di un ipercubo, il volume di una $n$-sfera, etc.
La "forma" di una palla, e quindi il suo volume, cambia a seconda della metrica che scegli: le metriche sono tutte equivalenti, quindi ti danno la stessa topologia, e quindi gli stessi Boreliani, ma non le stesse misure, perché la palla di raggio 1 nella metrica euclidea ha area \(\pi\), che è maggiore dell'area della palla di raggio 1 per la metrica \((x,y)\mapsto |x|+|y|\), cioè l'area di un quadrato di raggio \(\sqrt{2}\).
La "forma" di una palla, e quindi il suo volume, cambia a seconda della metrica che scegli: le metriche sono tutte equivalenti, quindi ti danno la stessa topologia, e quindi gli stessi Boreliani, ma non le stesse misure, perché la palla di raggio 1 nella metrica euclidea ha area \(\pi\), che è maggiore dell'area della palla di raggio 1 per la metrica \((x,y)\mapsto |x|+|y|\), cioè l'area di un quadrato di raggio \(\sqrt{2}\).
E quindi come posso risolverle questa dimostrazione senza cacciare tutta la teoria sulle palle? Devo cambiare strada oppure nel ragionamento c'è qualcosa che non ho considerato ma che fa concludere subito la dimostrazione? Per precisare facendo analisi 2 (avendo 20 anni) non posso andare troppo in profondità su argomenti che ancora non faccio, quindi se ci fosse una strada "non troppo complicata" sarei grato, grazie.
Però a te serve solo dimostrare che le palle hanno misura positiva (non vuoi la misura esatta). Ma la misura dei cubi la puoi dare per nota? Perché se sì allora...
"ViciousGoblin":
Però a te serve solo dimostrare che le palle hanno misura positiva (non vuoi la misura esatta). Ma la misura dei cubi la puoi dare per nota? Perché se sì allora...
Aspetta per misura dei cubi intendi tipo generalmente se prendi un rettangolo in $RR^n$ è fatto come $R=[a_1,b_1]xx...xx[a_n,b_n]$ allora la sua misura è $L^n(R)=(b_1-a_1)*...*(b_n-a_n)$ (supponendo che $b_i>=a_i$ per ogni $i$)?
Sì intendo quello.
"andreadel1988":
E quindi come posso risolverle questa dimostrazione senza cacciare tutta la teoria sulle palle? Devo cambiare strada oppure nel ragionamento c'è qualcosa che non ho considerato ma che fa concludere subito la dimostrazione? Per precisare facendo analisi 2 (e avendo 20 anni) non posso andare troppo in profondità su argomenti che ancora non faccio, quindi se ci fosse una strada "non troppo complicata" sarei grato, grazie.
Avendo vent'anni!
"ViciousGoblin":
Sì intendo quello.
Quindi intendi che la palla contiene un cubo e il cubo ha misura non nulla poichè non è degenere?
"megas_archon":
Avendo vent'anni!
?
"andreadel1988":
[quote="ViciousGoblin"]Sì intendo quello.
Quindi intendi che la palla contiene un cubo e il cubo ha misura non nulla poichè non è degenere?[/quote]
Certo...
"andreadel1988":
Quindi intendi che la palla contiene un cubo e il cubo ha misura non nulla poichè non è degenere?
Si.
Ok, grazie a tutti.
Ma se oltre alle ipotesi ci fosse scritto "con la topologia euclidea" potrei concludere subito che le di raggio $r>0$ hanno misura positiva?
Ma scusa che topologia hai usato?
"otta96":
Ma scusa che topologia hai usato?
Quella euclidea.
E allora che senso ha la tua domanda?
"megas_archon":
La "forma" di una palla, e quindi il suo volume, cambia a seconda della metrica che scegli: le metriche sono tutte equivalenti, quindi ti danno la stessa topologia, e quindi gli stessi Boreliani, ma non le stesse misure, perché la palla di raggio 1 nella metrica euclidea ha area \(\pi\), che è maggiore dell'area della palla di raggio 1 per la metrica \((x,y)\mapsto |x|+|y|\), cioè l'area di un quadrato di raggio \(\sqrt{2}\).
Perchè ho letto il messaggio di megas_archon dove dava diverse misure e pensavo non fosse chiaro che stavo lavorando su quella euclidea.
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