Chiusura del complementare di un insieme di misura nulla in $RR^n$
Sia $EsubeRR^n$ di $L^n$-misura nulla. Provare che $RR^n\\E$ è denso in $RR^n$.
Mi basta mostrare che la parte interna di $E$ è vuota. Intanto definiamo $\mu^**$ la misura esterna di $L^n$. Abbiamo che $Int(E)subeE$ per cui per monotonia $u^**(Int(E))<=u^**(E)=0$, ma poichè le misure sono positive allora $u^**(Int(E))=0$ per cui $Int(E)$ è $L^n$-misurabile e $L^n(Int(E))=0$. Se per assurdo $Int(E)!=∅$ allora siccome $Int(E)$ è aperto preso $x inE$ $EEr>0$ tale che $B(x,r)subeInt(E)$. Per gli stessi ragionamenti di prima si ha che $B(x,r)$ è $L^n$-misurabile e $L^n(B(x,r))=0$, ma siccome $r>0$ allora $B(x,r)notinRR^(n-1)$ e perciò non può avere misura nulla. Quindi necessariamente $Int(E)=∅$. Intanto volevo sapere se fosse tutto corretto e poi se ci fosse un modo più "semplice e diretto" per risolverlo, grazie.
Mi basta mostrare che la parte interna di $E$ è vuota. Intanto definiamo $\mu^**$ la misura esterna di $L^n$. Abbiamo che $Int(E)subeE$ per cui per monotonia $u^**(Int(E))<=u^**(E)=0$, ma poichè le misure sono positive allora $u^**(Int(E))=0$ per cui $Int(E)$ è $L^n$-misurabile e $L^n(Int(E))=0$. Se per assurdo $Int(E)!=∅$ allora siccome $Int(E)$ è aperto preso $x inE$ $EEr>0$ tale che $B(x,r)subeInt(E)$. Per gli stessi ragionamenti di prima si ha che $B(x,r)$ è $L^n$-misurabile e $L^n(B(x,r))=0$, ma siccome $r>0$ allora $B(x,r)notinRR^(n-1)$ e perciò non può avere misura nulla. Quindi necessariamente $Int(E)=∅$. Intanto volevo sapere se fosse tutto corretto e poi se ci fosse un modo più "semplice e diretto" per risolverlo, grazie.
Risposte
"andreadel1988":
Ma se oltre alle ipotesi ci fosse scritto "con la topologia euclidea" potrei concludere subito che le di raggio $r>0$ hanno misura positiva?
Dipende da quello che sai.... Anche il fatto che i cubi (meglio gli $n$-rettangoli) sono misurabili e hanno come misura il prodotto delle lunghezze dei lati andrebbe dimostrato. Direi che per dimostrare che le palle (e dunque gli aperti) della topologia euclidea hanno misura positiva il modo più semplice è prendere un $n$-cubo di lato positivo dentro la palla, come si è detto prima.
"ViciousGoblin":
Dipende da quello che sai.... Anche il fatto che i cubi (meglio gli $n$-rettangoli) sono misurabili e hanno come misura il prodotto delle lunghezze dei lati andrebbe dimostrato. Direi che per dimostrare che le palle (e dunque gli aperti) della topologia euclidea hanno misura positiva il modo più semplice è prendere un $n$-cubo di lato positivo dentro la palla, come si è detto prima.
Vabbe l'abbiamo dato come definizione la misura dei rettangoli quindi credo vada bene. Effettivamente ha detto il nostro professore che si può provare che i rettangoli sono misurabili e hanno come misura il prodotto delle lunghezze dei lati, ma quando qualcuno ha provato a dimostrarlo ha detto esplicitamente che per adesso era troppo difficile, infatti non ci riusciva nessuno.
Quello che si fa di solito è definire la misura di Lebesgue partendo dal fatto desiderabile che la misura dei plurirettangoli sia proprio il prodotto delle lunghezze dei loro lati; a partire da questo, la misura esterna e interna sono definite come inf e sup, eccetera. Ma devi postulare quanto fa la misura dei rettangoli, non te lo dice la definizione, che al contrario usa quella come assunzione. Forse, però, c'è una definizione della misura che permette di dimostrare che la misura dei rettangoli è il prodotto dei loro lati, cioè una definizione che partendo dai generatori della topologia definisce la misura sui generatori dei boreliani?
"megas_archon":
Ma devi postulare quanto fa la misura dei rettangoli, non te lo dice la definizione, che al contrario usa quella come assunzione. Forse, però, c'è una definizione della misura che permette di dimostrare che la misura dei rettangoli è il prodotto dei loro lati, cioè una definizione che partendo dai generatori della topologia definisce la misura sui generatori dei boreliani?
Si ho sbagliato a dire, intendevo che il fatto della misura dei rettangoli l'abbiamo presa per vero. Però non so ancora cosa siano i generatori della topologia e boreliani.
Cioè non ti hanno definito la sigma-algebra generata da una topologia?!
Hmmm.
In ogni caso, quello che dicevo è proprio che la misura dei rettangoli viene assunta, e il valore della misura su sottoinsiemi più complicati segue.
Hmmm.
In ogni caso, quello che dicevo è proprio che la misura dei rettangoli viene assunta, e il valore della misura su sottoinsiemi più complicati segue.
"megas_archon":
Cioè non ti hanno definito la sigma-algebra generata da una topologia?!
Le sigma-algebre si, ma quella generata da una topologia non ancora. C'è so cos'è una sigma algebra e una topologia, ma la sigma algebra generata da una topologia non so se sia la stessa cosa
"megas_archon":
Quello che si fa di solito è definire la misura di Lebesgue partendo dal fatto desiderabile che la misura dei plurirettangoli sia proprio il prodotto delle lunghezze dei loro lati; a partire da questo, la misura esterna e interna sono definite come inf e sup, eccetera. Ma devi postulare quanto fa la misura dei rettangoli, non te lo dice la definizione, che al contrario usa quella come assunzione. Forse, però, c'è una definizione della misura che permette di dimostrare che la misura dei rettangoli è il prodotto dei loro lati, cioè una definizione che partendo dai generatori della topologia definisce la misura sui generatori dei boreliani?
Visto che ho tirato in ballo la questione vorrei chiarire cosa intendevo.
In effetti per definire la misura di Lebesgue si parte dall'idea che la misura dei rettangoli si il prodotto delle lunghezze dei lati, diciamo che se $R=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_N,b_N]$ allora pongo $|R|:=(b_1-a_1)\cdots(b_N-a_N)$ (non la chiamo ancora misura). Definisco poi la misura esterna per ogni $E\in\mathbb{R}^N$ al solito come
$m^\star(E)= \mbox{inf}\{\sum_{n=1}^{\infty}|R_n| : R_n \mbox { sono rettangololi e }E\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}R_n\}$.
A questo punto si individua la classe degli insiemi misurabili (io uso Caratheodory e non faccio la misura interna, ma è un dettaglio) e di definisce la misura $m(E):=m^\star(E)$ per ogni $E$ misurabile.
Non è ovvio a questo punto che un rettangolo $R$ sia misurabile e che $m(R)=|R|$ - va dimostrato. Naturalmente è immediato che $m^\star(R)\leq|R|$ ma l'altra disuguaglianza è una bella rottura...
Dunque è vero che si parte da area del rettangolo= base x altezza, ma poi va dimostrato che la misura del rettangolo coincide dall'area da cui si era partiti.
"ViciousGoblin":
Ma l'altra disuguaglianza è una bella rottura...
Lasciami indovinare, dimostri che $|R|$ è un minorante dell'insieme ${\sum_{n=1}^{\infty}|R_n| : R_n \mbox { sono rettangololi e }E\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}R_n\}$?
Devi dimostrare che se un rettangolo $R$ è contenuto in una unione numerabile di rettangoli $R_i$ allora $|R|$ é minore o eguale alla serie delle $|R_i|$.
"andreadel1988":
Sia $EsubeRR^n$ di $L^n$-misura nulla. Provare che $RR^n\\E$ è denso in $RR^n$.
Mi basta mostrare che la parte interna di $E$ è vuota. Intanto definiamo $\mu^**$ la misura esterna di $L^n$. Abbiamo che $Int(E)subeE$ per cui per monotonia $u^**(Int(E))<=u^**(E)=0$, ma poichè le misure sono positive allora $u^**(Int(E))=0$ per cui $Int(E)$ è $L^n$-misurabile e $L^n(Int(E))=0$. Se per assurdo $Int(E)!=∅$ allora siccome $Int(E)$ è aperto preso $x inE$ $EEr>0$ tale che $B(x,r)subeInt(E)$. Per gli stessi ragionamenti di prima si ha che $B(x,r)$ è $L^n$-misurabile e $L^n(B(x,r))=0$, ma siccome $r>0$ allora $B(x,r)notinRR^(n-1)$ e perciò non può avere misura nulla. Quindi necessariamente $Int(E)=∅$. Intanto volevo sapere se fosse tutto corretto e poi se ci fosse un modo più "semplice e diretto" per risolverlo, grazie.
Comunque, riprendendo meglio l'argomento suppongo per assurdo che la parte interna di $E$ sia diversa dal vuoto, quindi esiste un aperto non vuoto contenuto in $E$ e per definizione di aperto di $RR^n$ posso prendere un aperto della base, un rettangolo aperto $n$-dimensionale poichè la topologia prodotto coincide con quella euclidea, tutto contenuto in questo aperto, ma il rettangolo aperto ha misura positiva (definito come il prodotto degli $n$-lati) e ciò sarebbe assurdo poichè è contenuto in un insieme di misura nulla.
Un esempio: se $(x_1,...,x_n)inE$ un aperto della base (come rettangolo aperto) sarebbe tipo $(x_1-epsilon_1,x_1+epsilon_1)xx...xx(x_n-epsilon_n,x_n+epsilon_n)$, con $epsilon_1,...,epsilon_n>0$ e ha misura $2^n*epsilon_1*...*epsilon_n>0$
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