Chiarimento Ipotesi di Riemann
Premetto che non ho la più pallida idea di quale dovrebbe essere la sezione giusta per questa domanda, ma da qualche parte dovevo pur metterla.
Qualche giorno fa ho visto questo articolo il cui titolo mi ha incuriosito quindi l'ho aperto e mi sono letto le prime due pagine (lo stretto indispensabile per capire cosa intendeva nel titolo, che era ciò che mi interessava) e le ho capite ma ho notato una cosa strana e cioè che considerano solamente le soluzioni con parte immaginaria positiva, e non capisco come mai, non potrebbero esseri zeri con parte immaginaria negativa? O forse la funzione $\zeta$ è invariante per coniugio e quindi è sufficiente considerare i complessi di parte immaginaria positiva? O magari lo è la $\xi$? Perché loro dicono che la congettura di Riemann è equivalente a dire $N(T)=N_0(T)$? Non capisco perché, qualcuno che mi illumini? Grazie in anticipo.
P.S. Ad ogni modo mi sembra un risultato abbastanza notevole, un miglioramento incredibile rispetto a cosa si sapeva prima su $\kappa$.
Qualche giorno fa ho visto questo articolo il cui titolo mi ha incuriosito quindi l'ho aperto e mi sono letto le prime due pagine (lo stretto indispensabile per capire cosa intendeva nel titolo, che era ciò che mi interessava) e le ho capite ma ho notato una cosa strana e cioè che considerano solamente le soluzioni con parte immaginaria positiva, e non capisco come mai, non potrebbero esseri zeri con parte immaginaria negativa? O forse la funzione $\zeta$ è invariante per coniugio e quindi è sufficiente considerare i complessi di parte immaginaria positiva? O magari lo è la $\xi$? Perché loro dicono che la congettura di Riemann è equivalente a dire $N(T)=N_0(T)$? Non capisco perché, qualcuno che mi illumini? Grazie in anticipo.
P.S. Ad ogni modo mi sembra un risultato abbastanza notevole, un miglioramento incredibile rispetto a cosa si sapeva prima su $\kappa$.
Risposte
Premetto che non so un acca dell'argomento ma sicuramente vale
\[ n^{-\bar{s}} = \overline{n^{-s}} \Rightarrow \zeta(\bar{s}) = \overline{\zeta(s)} \]
e dunque se $s$ è uno zero, lo è anche $\bar{s}$.
\[ n^{-\bar{s}} = \overline{n^{-s}} \Rightarrow \zeta(\bar{s}) = \overline{\zeta(s)} \]
e dunque se $s$ è uno zero, lo è anche $\bar{s}$.
Questa è un'osservazione molto utile in effetti, però io mi chiedo se questa proprietà $\zeta(\bar{s})=\bar{\zeta(s)}$ si mantiene anche per prolungamento analitico, che è ciò che mi servirebbe.
Se $\Omega\subseteq\CC$ è il dominio di olomorfia della funzione $\zeta$ (intesa come prolungamento analitico della serie armonica generalizzata) e definisci $\overline{\Omega} := \{\overline{s}:s\in\Omega\}$ e $f(s) := \overline{\zeta(\overline s)}$ per ogni $s\in\overline{\Omega}$, puoi verificare che $f$ è olomorfa in $\overline{\Omega}$. A questo punto, l'invarianza di $\zeta$ per coniugio dovrebbe seguire da quello che si è già osservato e dal principio di identità per le funzioni olomorfe.
"coffee":
Se $\Omega\subseteq\CC$ è il dominio di olomorfia della funzione $\zeta$ (intesa come prolungamento analitico della serie armonica generalizzata) e definisci $\overline{\Omega} := \{\overline{s}:s\in\Omega\}$ e $f(s) := \overline{\zeta(\overline s)}$ per ogni $s\in\overline{\Omega}$, puoi verificare che $f$ è olomorfa in $\overline{\Omega}$. A questo punto, l'invarianza di $\zeta$ per coniugio dovrebbe seguire da quello che si è già osservato e dal principio di identità per le funzioni olomorfe.
Mi pare corretto. Bella risposta.
Grazie dissonance 
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