Caratterizzazione delle singolarità secondo Laurent
Salve ragazzi ho un problema col dimostrare la seguente proposizione:
"se una funzione $ f $ è analitica in un disco forato di $ z_0 $, quindi ivi sviluppabile in serie di Laurent di corefficienti $ C_n $ , sono equivaletni le seguenti:
1) $ z_0 $ singolarità eliminabile $ hArr $ $ C_-n = 0 AA n>0 $ ;
2) $ z_0 $ polo di ordine N $ hArr $ $ C_-n = 0 AA n>N $ ;
3) $ z_0 $ singolarità essenziale $ hArr $ $ AAkinNEEn>k : C_-n != 0 $ ; "
La dimostrazione di questa proposizione non l'ho trovata sul testo di riferimento quale il M.Codegone - Metodi matematici per l'Ingegneria, quindi mi sono rifatto ad alcuni appunti e dispense, solo in un pdf ho trovato una dimostrazione che però afferma siano ovvi i punti 1) e 3) (che per me non lo sono), pertanto ne ho avanzata una io del 1) punto.
dim:
1) secondo pdf è ovvio. io ho dimsotrato in questo modo:
" $ rArr $ "
da def di singolarità eliminabile: $ lim _(z->z_0) f(z) = lambda in C , lambda < oo $ , quindi essendo f sviluppabile per laurent il limite è:
$ lim _(z->z_0)(sum_(n = 1\ldots+oo)C_-n/(z-z_0)^n + C_0 + sum_(n = 1\ldots+oo)C_n*(z-z_0)^n) = lambda $ :
da qui il la seconda sommatoria è infinitesima, $ C_0 $ è una costante finita, la prima sommatoria sono tutti termini il cui modulo è infinito quindi se per hp il limitè è finito tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli.
" $ lArr $ "
banalmente se i coefficienti negativi sono nulli, applico il limite della def di singolarità eliminabile, esplicito la sommatoria e noto che l'unico termine non infinitesimo è $ C_0 $ il quale è finito quindi soddisfa la definizione di sing. elim.
il punto 2) è dimostrato chiaramente quindi non ho problemi al riguardo
il punto 3) non è dimostrato quindi vi chiedo di fornirmi di una dimostrazione o di una dispensa almeno
vi chiedo gentilmente di farmi notare se vi sono errori
sul web ho trovato questo " http://solitons.altervista.org/bruschi/ ... z%2016.pdf " che dimsostra 1) e 3) punto ma comunque ho qualche problema.
del punto 1) non capisco perchè, se $ z_0 $ è sing. elim. la funzione $ g(z):=f(z)*(z-z_0)^(n-1) , n>=1 $ sia analitica.
per quanto riguarda il 3) punto non l'ho capito nemmeno qui vi prego aiutatemi
"se una funzione $ f $ è analitica in un disco forato di $ z_0 $, quindi ivi sviluppabile in serie di Laurent di corefficienti $ C_n $ , sono equivaletni le seguenti:
1) $ z_0 $ singolarità eliminabile $ hArr $ $ C_-n = 0 AA n>0 $ ;
2) $ z_0 $ polo di ordine N $ hArr $ $ C_-n = 0 AA n>N $ ;
3) $ z_0 $ singolarità essenziale $ hArr $ $ AAkinNEEn>k : C_-n != 0 $ ; "
La dimostrazione di questa proposizione non l'ho trovata sul testo di riferimento quale il M.Codegone - Metodi matematici per l'Ingegneria, quindi mi sono rifatto ad alcuni appunti e dispense, solo in un pdf ho trovato una dimostrazione che però afferma siano ovvi i punti 1) e 3) (che per me non lo sono), pertanto ne ho avanzata una io del 1) punto.
dim:
1) secondo pdf è ovvio. io ho dimsotrato in questo modo:
" $ rArr $ "
da def di singolarità eliminabile: $ lim _(z->z_0) f(z) = lambda in C , lambda < oo $ , quindi essendo f sviluppabile per laurent il limite è:
$ lim _(z->z_0)(sum_(n = 1\ldots+oo)C_-n/(z-z_0)^n + C_0 + sum_(n = 1\ldots+oo)C_n*(z-z_0)^n) = lambda $ :
da qui il la seconda sommatoria è infinitesima, $ C_0 $ è una costante finita, la prima sommatoria sono tutti termini il cui modulo è infinito quindi se per hp il limitè è finito tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli.
" $ lArr $ "
banalmente se i coefficienti negativi sono nulli, applico il limite della def di singolarità eliminabile, esplicito la sommatoria e noto che l'unico termine non infinitesimo è $ C_0 $ il quale è finito quindi soddisfa la definizione di sing. elim.
il punto 2) è dimostrato chiaramente quindi non ho problemi al riguardo
il punto 3) non è dimostrato quindi vi chiedo di fornirmi di una dimostrazione o di una dispensa almeno
vi chiedo gentilmente di farmi notare se vi sono errori
sul web ho trovato questo " http://solitons.altervista.org/bruschi/ ... z%2016.pdf " che dimsostra 1) e 3) punto ma comunque ho qualche problema.
del punto 1) non capisco perchè, se $ z_0 $ è sing. elim. la funzione $ g(z):=f(z)*(z-z_0)^(n-1) , n>=1 $ sia analitica.
per quanto riguarda il 3) punto non l'ho capito nemmeno qui vi prego aiutatemi
Risposte
La proposizione, enunciata così, è falsa. Intanto, invece di una corona circolare dovresti avere un disco privato di \(z_0\). E poi la caratterizzazione della singolarità essenziale non va bene. Qualche coefficiente \(C_{-n}\) si può benissimo annullare.
Con le dovute correzioni all'insieme di analiticità della funzione e al 3) punto, i dubbi rimangono, sapresti aiutarmi?
Adesso va bene. A me sembra che il primo punto sia ovvio. Quanto agli altri due, quella che hai riportato non è proprio la definizione? Se no, qual è la tua definizione di "polo" e di "singolarità essenziale"?
beh definisco le tipologie di punti singolari ( $ z_0 $ per $ f $ ) in base al risultato del $ lim _(z->z_0) f(z) $:
eliminabile se e solo se finito
polo se e solo se infinito (di ordine n se è finito non nullo $ lim _(z->z_0) f(z)(z - z_0)^n $)
essenziale se e solo se non esiste
il 3) punto sono riuscito a dimostrarlo solo per esclusione affermando che se non vale 1) e 2) allora deve essere 3), però se dovessi dimostrarlo senza i precedenti punti non saprei come, ed era questo che chiedevo.
inoltre un dubbio mi assilla troppo:
se $ f $ ha singolarità in $ z_0 $ significa che è analitica in un cerchio forato $ A $ di $ z_0 $:
se $ z_0 $ è eliminabile, $ f $ sarà analitica in tutto il cerchio incluso $ z_0 $ (se si, perchè) o rimane analitica "solo" nel cerchio forato? navigando e leggendo diverse dispense ho letto che $ z_0 $ eliminabile equivale a dire che il prolungamento
$ tildef = { ( f; zinA ),( lambda; z=z_0 ):} $ è olomorfa (quindi analitica): come si dimostra ciò?
eliminabile se e solo se finito
polo se e solo se infinito (di ordine n se è finito non nullo $ lim _(z->z_0) f(z)(z - z_0)^n $)
essenziale se e solo se non esiste
il 3) punto sono riuscito a dimostrarlo solo per esclusione affermando che se non vale 1) e 2) allora deve essere 3), però se dovessi dimostrarlo senza i precedenti punti non saprei come, ed era questo che chiedevo.
inoltre un dubbio mi assilla troppo:
se $ f $ ha singolarità in $ z_0 $ significa che è analitica in un cerchio forato $ A $ di $ z_0 $:
se $ z_0 $ è eliminabile, $ f $ sarà analitica in tutto il cerchio incluso $ z_0 $ (se si, perchè) o rimane analitica "solo" nel cerchio forato? navigando e leggendo diverse dispense ho letto che $ z_0 $ eliminabile equivale a dire che il prolungamento
$ tildef = { ( f; zinA ),( lambda; z=z_0 ):} $ è olomorfa (quindi analitica): come si dimostra ciò?
Cosa significa esattamente "limite infinito", parlando di numeri complessi? Da là dipende tutta la risposta a questa domanda
che io sappia, discorsivamente, che per le $ z $ in un intorno di $ z_0 $ il modulo $ |f(z)| $ si trova in un intorno di infinito.
Perdonami ma non riesco a capire in che modo ciò possa aiutarmi a capire, e comunque mi correggo, per la definizione di polo, indipendentemente dall'ordine, è il MODULO della funzione che tende a infinito, ma comunque non capisco il collegamento.
Perdonami ma non riesco a capire in che modo ciò possa aiutarmi a capire, e comunque mi correggo, per la definizione di polo, indipendentemente dall'ordine, è il MODULO della funzione che tende a infinito, ma comunque non capisco il collegamento.
C'è un problema con quel "discorsivamente", devi scrivere in formule la definizione, altrimenti come farai a fare una dimostrazione?
dunque:
def: $ lim _(z->z_0)f(z) = oo hArr AAR>0EEdelta>0:abs(z-z_0)R $ ;
edit definizione di polo: $ lim _(z->z_0)abs(f(z)) = +oo $ ; di ordine N: $ lim _(z->z_0)f(z)*(z-z_0)^N = lambda in C-{0} $
def: $ lim _(z->z_0)f(z) = oo hArr AAR>0EEdelta>0:abs(z-z_0)
edit definizione di polo: $ lim _(z->z_0)abs(f(z)) = +oo $ ; di ordine N: $ lim _(z->z_0)f(z)*(z-z_0)^N = lambda in C-{0} $
"lukixx":
inoltre un dubbio mi assilla troppo:
se $ f $ ha singolarità in $ z_0 $ significa che è analitica in un cerchio forato $ A $ di $ z_0 $:
se $ z_0 $ è eliminabile, $ f $ sarà analitica in tutto il cerchio incluso $ z_0 $ (se si, perchè) o rimane analitica "solo" nel cerchio forato? navigando e leggendo diverse dispense ho letto che $ z_0 $ eliminabile equivale a dire che il prolungamento
$ tildef = { ( f; zinA ),( lambda; z=z_0 ):} $ è olomorfa (quindi analitica): come si dimostra ciò?
Per esempio, c'è un teorema (di Morera) che dice: una funzione è olomorfa in una regione se e solo se tutti gli integrali su circonferenza contenute nella regione si annullano. Nel nostro caso, \(\tilde f\) verifica che
\[
\int_C \tilde f\, dz = \int_C'\tilde f\, dz, \]
per ogni \(C, C'\) circonferenze in \(A\) e che avvolgono \(z_0\); questa è una conseguenza del fatto che \(f\) è olomorfa in \(A\setminus \{z_0\}\). In particolare, per ogni circonferenza \(C\) fissata,
\[
\int_C \tilde f\, dz =\lim_{n\to \infty} \int_{C_n} \tilde f\, dz, \]
dove \(C_n\) è una successione di circonferenze di centro \(z_0\) e raggio \(r_n\) decrescente a \(0\). Quest'ultimo limite vale \(0\) perché
\[
\left\lvert \int_{C_n} \tilde f\, dz\right\rvert \le 2\pi r_n\cdot \text{sup di }|\tilde f|\text{ nell'interno di }C_n.\]
Siccome \(\tilde f\) è continua, il suo sup nell'interno del cerchio è finito, quindi il membro destro di questa equazione tende a \(0\).
wow, bella dimostrazione anche. Questo discorso è applicabile anche alla semplice $ f $ (quella non prolungata per intenderci)? perchè la dimostrazione che mi hai proposto dimostra olomorfia nel cerchio grazie al teorema di morera e maggiorando il modulo dell'integrale sulla successione decrescente di circonferenze, limitatezza assicurata dal fatto che $ tildef $ sia continua anche nella singolarità eliminabile: dato che per definizione di singolarità eliminabile $ f $(non prolungata) tende ad un valore finito in $ z_0 $, allora anche in questo caso il modulo è limitato da un valore costante e quindi tendente a 0 con il raggio, qunndi vale l'hp di morera e quindi $ f $ olomorfa in tutto il cerchio compreso $ z_0 $
ti ringrazio tantissimo per la disponibilità, purtroppo ad ingegneria l'esame di metodi matematici non è spiegato con molto rigore e dettaglidi questo tipo o vengono considerate ovvietà o se ne evita la dimostrazione perchè "esula dei nostri scopi" -.-
ti ringrazio tantissimo per la disponibilità, purtroppo ad ingegneria l'esame di metodi matematici non è spiegato con molto rigore e dettaglidi questo tipo o vengono considerate ovvietà o se ne evita la dimostrazione perchè "esula dei nostri scopi" -.-
Si, ma in fondo \(f\) e \(\tilde f\) "sono la stessa cosa", la differenza è formale, nel senso che a rigore \(f(z_0)\) non significa niente. Invece \(\tilde f(z_0)\) è un ben preciso numero complesso. Chiaramente poi in pratica nessuno si mette a piazzare tilde, si continua a scrivere \(f\) anche per la funzione prolungata per continuità.
La cosa fondamentale è l'invarianza per omotopia degli integrali delle funzioni olomorfe. Se due curve chiuse \(\gamma\) e \(\gamma'\) sono contenute nel dominio \(A\) di una funzione olomorfa \(f\), e sono *omotope*, allora \(\int_\gamma f\, dz=\int_{\gamma'} f\,dz.\) (Ne abbiamo parlato, per esempio, qui: viewtopic.php?f=36&t=189151).
Due curve in \(A\) sono omotope se possono essere deformate l'una nell'altra con continuità SENZA uscire dal dominio \(A\). In pratica questo significa che nella regione racchiusa tra l'una e l'altra non ci deve essere nessuna singolarità di \(f\). Nel teorema di prima, l'unica singolarità di \(f\) è in \(z_0\), e tutte le circonferenze che abbiamo considerato racchiudono questa singolarità, quindi possono essere deformate l'una nell'altra con una traslazione e una omotopia, senza toccare \(z_0\).
La cosa fondamentale è l'invarianza per omotopia degli integrali delle funzioni olomorfe. Se due curve chiuse \(\gamma\) e \(\gamma'\) sono contenute nel dominio \(A\) di una funzione olomorfa \(f\), e sono *omotope*, allora \(\int_\gamma f\, dz=\int_{\gamma'} f\,dz.\) (Ne abbiamo parlato, per esempio, qui: viewtopic.php?f=36&t=189151).
Due curve in \(A\) sono omotope se possono essere deformate l'una nell'altra con continuità SENZA uscire dal dominio \(A\). In pratica questo significa che nella regione racchiusa tra l'una e l'altra non ci deve essere nessuna singolarità di \(f\). Nel teorema di prima, l'unica singolarità di \(f\) è in \(z_0\), e tutte le circonferenze che abbiamo considerato racchiudono questa singolarità, quindi possono essere deformate l'una nell'altra con una traslazione e una omotopia, senza toccare \(z_0\).
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