Calcolo integrale con metodo dei residui
Buonasera a tutti,
Avrei un problema con il seguente esercizio sul calcolo di integrale con metodo dei residui ( su cammini chiusi orientati positivamente) :
Determinato z=0 come singolarità procedo considerando una curva chiusa che lo contiente, suppongo quindi la circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine orientata positivamente.
Applico quindi il calcolo degli integrali con la formulazione seguente :
Dal calcolo del residuo mi risulta 0 , quindi il risultato complessivo è 0.
Ho qualche dubbio sulla veridicità del risultato. C'è un errore sulla scelta del percorso chiuso
?
Grazie del supporto e buona serata a tutti !
Avrei un problema con il seguente esercizio sul calcolo di integrale con metodo dei residui ( su cammini chiusi orientati positivamente) :
Determinato z=0 come singolarità procedo considerando una curva chiusa che lo contiente, suppongo quindi la circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine orientata positivamente.
Applico quindi il calcolo degli integrali con la formulazione seguente :
Dal calcolo del residuo mi risulta 0 , quindi il risultato complessivo è 0.
Ho qualche dubbio sulla veridicità del risultato. C'è un errore sulla scelta del percorso chiuso
?
Grazie del supporto e buona serata a tutti !
Risposte
Ciao frat92ds,
Innanzitutto ti pregherei di modificare il tuo OP scrivendo le formule come prescritto dal regolamento, vista oltretutto la loro semplicità:
$\oint_{|z| = 1} f(z) \text{d}z = \oint_{|z| = 1} z e^{1/z} \text{d}z = 2\pi i \cdot \text{res}(z e^{1/z}, 0) $
Poi non capisco come fa a risultarti $\text{res}(z e^{1/z}, 0) = 0 $, perché a me risulta che si ha:
$f(z) = z e^{1/z} = z \sum_{n = 0}^{+\infty} (1/z)^n/(n!) = z (1 + 1/z + 1/(2z^2) + ... ) $
Pertanto si ha:
$ \text{res}(z e^{1/z}, 0) = 1/2 $
Innanzitutto ti pregherei di modificare il tuo OP scrivendo le formule come prescritto dal regolamento, vista oltretutto la loro semplicità:
$\oint_{|z| = 1} f(z) \text{d}z = \oint_{|z| = 1} z e^{1/z} \text{d}z = 2\pi i \cdot \text{res}(z e^{1/z}, 0) $
$\oint_{|z| = 1} f(z) \text{d}z = \oint_{|z| = 1} z e^{1/z} \text{d}z = 2\pi i \cdot \text{res}(z e^{1/z}, 0) $
Poi non capisco come fa a risultarti $\text{res}(z e^{1/z}, 0) = 0 $, perché a me risulta che si ha:
$f(z) = z e^{1/z} = z \sum_{n = 0}^{+\infty} (1/z)^n/(n!) = z (1 + 1/z + 1/(2z^2) + ... ) $
Pertanto si ha:
$ \text{res}(z e^{1/z}, 0) = 1/2 $
ops, scusate, credevo l'immagine rispettasse comunque i canoni del forum. Non ricapiterà l'errore grazie.
Per il calcolo dei residui ho commesso un errore di semplificazione che annullava il termine 1/2. grazie
Per il calcolo dei residui ho commesso un errore di semplificazione che annullava il termine 1/2. grazie
"frat92ds":
grazie
Prego.
"frat92ds":
ops, scusate, credevo l'immagine rispettasse comunque i canoni del forum. Non ricapiterà l'errore grazie.
Potrei sbagliarmi, ma credo che tu possa ancora porre rimedio all'errore modificando l'OP eliminando le immagini e sostituendole con il codice che ti ho scritto (che puoi semplicemente copiare e incollare nell'OP al posto delle immagini).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo