Calcolo integrale con il Teorema dei residui
Salve ho il seguente quesito che ho provato a risolvere: calcolare il seguente integrale in campo complesso
$ oint_(|z|= 4pi/3) (e^((z-5)/(z-1)))/(z^2-5z) dz $ .
Per prima cosa ho valutato le singolarità della funzione:
$ z_1 = 0 ; z_2=5 ; z_3= 1 $ e in particolare, $ z_1 = 0 ; z_2=5 $ sono singolarità polari semplici, mentre $ z_3=1 $ è una singolarità essenziale.
Le singolarità che sono comprese nella circonferenza $ |z|= 4pi/3 $ sono 0 e 1.
Grazie al teorema dei residui posso scrivere l'equazione:
$ Res(f(z), z1) + Res(f(z),z3) = -Res (f(z),z2) - Res (f(z),+infty) $
Di conseguenza per risolvere l'integrale, calcolo il residuo in z2 e il residuo all'infinito.
$ Res (f(z),z_2) = lim_(z->z_2) ((z-5)* e^((z-5)/(z-1)))/(z^2-5z) = 1/5 $
$ Res (f(z),+infty) $ -> Posso osservare che $ lim_(z->infty) (e^((z-5)/(z-1)))/(z^2-5z) = 0$ ,
per cui il residuo all'infinito posso calcolarlo come $ Res (f(z),+infty) = lim_(z->infty) zf(z) = 0 $
In conclusione l'integrale da come risultato::
$ oint_(|z|= 4pi/3) ( e^((z-5)/(z-1)))/(z^2-5z) dz = (-2pij)/5$
In alternativa, ho provato a calcolare il residuo in 1 con lo sviluppo in serie di Laurent, per poi sommarlo al residuo in 0 e quindi risolvere l'integrale, ma ho trovato difficoltà a gestire il denominatore, mentre il numeratore risulta essere $ e^(1-4/(z-1)) $ il cui sviluppo in serie è $ e /(sum_(n = 0) ((z-1)/(4n!))^n )$ .
Qualcuno sa come procedere lungo questa strada? Grazie..
$ oint_(|z|= 4pi/3) (e^((z-5)/(z-1)))/(z^2-5z) dz $ .
Per prima cosa ho valutato le singolarità della funzione:
$ z_1 = 0 ; z_2=5 ; z_3= 1 $ e in particolare, $ z_1 = 0 ; z_2=5 $ sono singolarità polari semplici, mentre $ z_3=1 $ è una singolarità essenziale.
Le singolarità che sono comprese nella circonferenza $ |z|= 4pi/3 $ sono 0 e 1.
Grazie al teorema dei residui posso scrivere l'equazione:
$ Res(f(z), z1) + Res(f(z),z3) = -Res (f(z),z2) - Res (f(z),+infty) $
Di conseguenza per risolvere l'integrale, calcolo il residuo in z2 e il residuo all'infinito.
$ Res (f(z),z_2) = lim_(z->z_2) ((z-5)* e^((z-5)/(z-1)))/(z^2-5z) = 1/5 $
$ Res (f(z),+infty) $ -> Posso osservare che $ lim_(z->infty) (e^((z-5)/(z-1)))/(z^2-5z) = 0$ ,
per cui il residuo all'infinito posso calcolarlo come $ Res (f(z),+infty) = lim_(z->infty) zf(z) = 0 $
In conclusione l'integrale da come risultato::
$ oint_(|z|= 4pi/3) ( e^((z-5)/(z-1)))/(z^2-5z) dz = (-2pij)/5$
In alternativa, ho provato a calcolare il residuo in 1 con lo sviluppo in serie di Laurent, per poi sommarlo al residuo in 0 e quindi risolvere l'integrale, ma ho trovato difficoltà a gestire il denominatore, mentre il numeratore risulta essere $ e^(1-4/(z-1)) $ il cui sviluppo in serie è $ e /(sum_(n = 0) ((z-1)/(4n!))^n )$ .
Qualcuno sa come procedere lungo questa strada? Grazie..
Risposte
Come hai calcolato quel residuo all'infinito? Mi puzza di errore. Devi calcolare
\[
\lim_{w\to 0} -f(\tfrac1w)\tfrac1{w^2}.\]
\[
\lim_{w\to 0} -f(\tfrac1w)\tfrac1{w^2}.\]
"dissonance":
Come hai calcolato quel residuo all'infinito? Mi puzza di errore. Devi calcolare
\[ \lim_{w\to 0} -f(\tfrac1w)\tfrac1{w^2}. \]
Considerando $ z=1/w $ , la funzione $ f(w) $ non ha in 0 una singolarità, di conseguenza il residuo in w=0 dovrebbe fare 0, giusto?
No, non devi fare il residuo, devi calcolare il limite che ho scritto. Non penso che te ne possa uscire così in modo "soft". C'è da fare qualche conto.
P.S.: Per favore, modifica il titolo del primo post. Scrivere in TUTTO MAIUSCOLO equivale ad urlare e non è previsto dal regolamento di questo forum. Grazie.
P.S.: Per favore, modifica il titolo del primo post. Scrivere in TUTTO MAIUSCOLO equivale ad urlare e non è previsto dal regolamento di questo forum. Grazie.
Innanzitutto grazie per l'attenzione che mi stai dedicando. Ho modificato il titolo come da te suggerito e mi sono accorto di aver scritto male la funzione di partenza e alcuni passaggi. Ho corretto gli errori e ho svolto il limite da te proposto il quale risulta valere $ lim _(w->0) (-f(1/w) 1/w^2) = -e $
E quindi il risultato del post originale va corretto. Adesso l'esercizio va bene. Anzi, è un buon svolgimento, mi piace l'uso del residuo all'infinito per aggirare la singolarità essenziale.
Scusami non mi sono ancora chiare delle cose:
Se considero una funzione $ f(z) $ tale che risulta avere un numero finito n di singolarità isolate, posso considerare una curva $ gamma $ , orientata in senso antiorario e che contiene tutte le singolarità, e calcolare l'integrale su $ gamma $ utilizzando il T. dei residui.
Per la singolarità a $ infty $ , considero $ gamma $ col verso di percorrenza opposto a quello precedente e quindi posso scrivere che :
$ Res(f(z), infty) = 1/(2pij) oint_(-gamma) f(z) dz $ .
Ponendo $ z=1/w $ da cui $ w=1/z $ e $ dz = -1/w^2 dw $ ottengo $ Res(f(z), infty) = Res(f(w), 0)= 1/(2pij) oint_(Gamma) -f(w)/w^2 dw $ dove $ Gamma $ è una curva circonferenza centrata in 0 percorsa in senso antiorario.
Ora valuto la funzione $ -f(w)/w^2 $, la quale, nel mio caso, risulta non avere in $ w=0 $ nessuna singolarità e di conseguenza, essendo la funzione $ -f(w)/w^2 $ olomorfa nella insieme $ D $ determinato dalla curva $ Gamma$ , per il T. di Cauchy , $oint_(Gamma) -f(w)/w^2 dw = 0 $.
In conclusione $ Res(f(z), infty) = Res(f(w), 0)= 0 $
Sbaglio??
Come seconda cosa, se volessi intestardirmi e calcolare il residuo in 1 senza considerare il residuo all'infinito e quindi sviluppare la funzione in Serie di Laurent, centrata in $ z_0 = 1 $ e valutarne il coefficiente $C_(-1) $ come dovrei procedere?
Se considero una funzione $ f(z) $ tale che risulta avere un numero finito n di singolarità isolate, posso considerare una curva $ gamma $ , orientata in senso antiorario e che contiene tutte le singolarità, e calcolare l'integrale su $ gamma $ utilizzando il T. dei residui.
Per la singolarità a $ infty $ , considero $ gamma $ col verso di percorrenza opposto a quello precedente e quindi posso scrivere che :
$ Res(f(z), infty) = 1/(2pij) oint_(-gamma) f(z) dz $ .
Ponendo $ z=1/w $ da cui $ w=1/z $ e $ dz = -1/w^2 dw $ ottengo $ Res(f(z), infty) = Res(f(w), 0)= 1/(2pij) oint_(Gamma) -f(w)/w^2 dw $ dove $ Gamma $ è una curva circonferenza centrata in 0 percorsa in senso antiorario.
Ora valuto la funzione $ -f(w)/w^2 $, la quale, nel mio caso, risulta non avere in $ w=0 $ nessuna singolarità e di conseguenza, essendo la funzione $ -f(w)/w^2 $ olomorfa nella insieme $ D $ determinato dalla curva $ Gamma$ , per il T. di Cauchy , $oint_(Gamma) -f(w)/w^2 dw = 0 $.
In conclusione $ Res(f(z), infty) = Res(f(w), 0)= 0 $
Sbaglio??
Come seconda cosa, se volessi intestardirmi e calcolare il residuo in 1 senza considerare il residuo all'infinito e quindi sviluppare la funzione in Serie di Laurent, centrata in $ z_0 = 1 $ e valutarne il coefficiente $C_(-1) $ come dovrei procedere?
In effetti questa cosa che ho scritto è sbagliata:
Non è il limite che bisogna calcolare, ma il residuo. Quindi la formula corretta è
\[
\mathrm{res}(f, \infty):=\mathrm{res}(-\tfrac1{w^2}f(\tfrac1w), w=0).\]
https://en.wikipedia.org/wiki/Residue_at_infinity
Questo è sbagliato. La formula corretta è quella scritta sopra.
Devi calcolare
\[
\lim_{w\to 0} -f(\tfrac1w)\tfrac1{w^2}.\]
Non è il limite che bisogna calcolare, ma il residuo. Quindi la formula corretta è
\[
\mathrm{res}(f, \infty):=\mathrm{res}(-\tfrac1{w^2}f(\tfrac1w), w=0).\]
https://en.wikipedia.org/wiki/Residue_at_infinity
$"Res"(f(z), infty) = "Res"(f(w), 0)= 0$
Questo è sbagliato. La formula corretta è quella scritta sopra.
Non è il limite che bisogna calcolare, ma il residuo. Quindi la formula corretta è
$res(f,∞):=res(−1/wf(1/w),w=0)$ .
Intendevi $res(−1/w^2f(1/w),w=0)$ ?
In ogni caso, è giusta la mia osservazione sul fatto che non esiste la singolarità in 0 non esiste e quindi il residuo fa 0? Se così fosse il risultato da me postato inizialmente quindi è giusto.
Riguardo il secondo punto del post sai come aiutarmi??
Ho corretto la formula. Quanto alla tua osservazione, è corretta. Rifaccio il conto;
\[
-\frac1{w^2} \frac{e^\frac{\frac{1}{w}-5}{\frac1w-1}}{\frac1{w^2}-\frac5w} =-\exp\left(\frac{1-5w}{1-w}\right)(1-5w)^{-1}.\]
Questa funzione è olomorfa in un intorno \(w=0\), come dicevi tu. Quindi il residuo all'infinito è effettivamente zero.
Quanto alla singolarità essenziale, l'unica cosa (credo) è calcolare lo sviluppo di Laurent intorno a \(1\). Mi sembra un po' laborioso e inoltre è inutile, visto come hai aggirato il problema usando il residuo all'infinito.
\[
-\frac1{w^2} \frac{e^\frac{\frac{1}{w}-5}{\frac1w-1}}{\frac1{w^2}-\frac5w} =-\exp\left(\frac{1-5w}{1-w}\right)(1-5w)^{-1}.\]
Questa funzione è olomorfa in un intorno \(w=0\), come dicevi tu. Quindi il residuo all'infinito è effettivamente zero.
Quanto alla singolarità essenziale, l'unica cosa (credo) è calcolare lo sviluppo di Laurent intorno a \(1\). Mi sembra un po' laborioso e inoltre è inutile, visto come hai aggirato il problema usando il residuo all'infinito.
Comunque vedo che sul calcolo del residuo della singolarità essenziale sei andato piuttosto lontano. Resta solo da sviluppare in serie di Taylor
\[
\frac1z\frac1{z-5}=\sum_{n=0}^\infty a_n (z-1)^n, \]
calcolando i coefficienti. Mi ci dovrei mettere un po' su con carta e penna però e adesso non posso proprio.
Prima ho scritto che è una cosa inutile, ma non è vero, fai bene ad avere questa curiosità e stai facendo un buon lavoro, nonostante i miei interventi poco concentrati che non ti stanno aiutando molto.
\[
\frac1z\frac1{z-5}=\sum_{n=0}^\infty a_n (z-1)^n, \]
calcolando i coefficienti. Mi ci dovrei mettere un po' su con carta e penna però e adesso non posso proprio.
Prima ho scritto che è una cosa inutile, ma non è vero, fai bene ad avere questa curiosità e stai facendo un buon lavoro, nonostante i miei interventi poco concentrati che non ti stanno aiutando molto.
Comunque vedo che sul calcolo del residuo della singolarità essenziale sei andato piuttosto lontano. Resta solo da sviluppare in serie di Taylor
$1/z 1/(z−5)=sum_(n=0)^(∞)an(z−1)^n$
Ho provato a procedere nel seguente modo anche se non sono ancora arrivato ad una conclusione:
$ 1/(z(z-5)) = 1/(z(z-1-4)) = 1/(-4z(1-(z-1)/4)) = 1/(-4z) + sum _(n=0) ^(infty) ((z-1)/4)^n $
dove la serie converge per $ |z-1|<4 $ .
Quindi per ora la mia funzione risulta essere:
$ e/ (sum_(n=0)^(+infty)(4/((z-1)n!))^n) 1/(-4z) sum_(n=0)^(+infty) ((z-1)/4)^n $
Ora c'è quel $ 1/(-4z) $ che mi da problemi...
Tornando al residuo all'infinito, vorrei porti una domanda: Per tutte le funzioni è possibile calcolare il residuo all'infinito? Ho provato a rispondermi e secondo me è no. In base a come sono arrivato a definire il residuo all'infinito, se considero ad esempio la funzione $ 1/sin(z) $, questa ha tutte singolarità del tipo $ z_k= kpi AA k in Z $ per cui non posso considerare una curva che contenga tutte le singolarità e considerare il residuo all'infinito come ho fatto prima, giusto?
Per quanto riguarda \(\tfrac1{-4z}\), devi usare
\[
\frac{1}{z}=\frac{1}{1+(z-1)}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(z-1)^n.\]
Per l'altra domanda, il punto ad infinito non è diverso dagli altri punti. Se una singolarità non è isolata, si può pure calcolare il residuo, ma non serve a nulla perché il teorema dei residui vale solo per singolarità isolate. Ne abbiamo parlato di recente con 3m0o, se ti interessa ti cerco la discussione. L'esempio che hai fatto è tale che il punto ad infinito non è una singolarità isolata.
\[
\frac{1}{z}=\frac{1}{1+(z-1)}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(z-1)^n.\]
Per l'altra domanda, il punto ad infinito non è diverso dagli altri punti. Se una singolarità non è isolata, si può pure calcolare il residuo, ma non serve a nulla perché il teorema dei residui vale solo per singolarità isolate. Ne abbiamo parlato di recente con 3m0o, se ti interessa ti cerco la discussione. L'esempio che hai fatto è tale che il punto ad infinito non è una singolarità isolata.
\[ \frac{1}{z}=\frac{1}{1+(z-1)}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(z-1)^n. \]
Come sei arrivato a questa conclusione?? Vedo che è una serie di potenze con termine $a_n = (-1)^n $, solitamente so come ricondurmi ad una serie geometrica (ovvero un caso particolare di serie di potenze), ma in questo caso non mi sono chiari tutti i passaggi
Ti sarei molto grato se postassi la discussione che hai menzionato, ritengo che mi gioverebbe approfondire l'argomento.
Come previsto, calcolare quella singolarità con lo sviluppo in serie è una cosa proibitiva. La mia curiosità nasceva dall'esigenza di voler capire come sviluppare in serie la funzione data , nel caso dovessi rincorrere a questo metodo all'esame e quindi fare almeno un tentativo per risolvere il quesito, sperando che ci siano cose più semplici 
Ti ringrazio per l'aiuto che mi hai dato
Ti ringrazio per l'aiuto che mi hai dato
Hai fatto benissimo a rincodurti al residuo all'infinito, è un buon svolgimento. Quanto alla serie geometrica, ho semplicemente usato la formula
\[
\frac{1}{1-q}=\sum_{n=0}^\infty q^n, \]
con
\[q=(-1)(z-1).\]
L'ho trovata ma è un po' confusa, non ti consiglio di leggerla. In ultima analisi, l'unica cosa che serve di quella discussione è questo link:
https://en.wikipedia.org/wiki/Meromorphic_function
Il teorema dei residui vale per funzioni meromorfe; ora, come puoi leggere nelle prime righe della pagina linkata, le funzioni meromorfe hanno, per definizione, solo singolarità isolate. Quindi in presenza di singolarità non isolate non si può applicare il teorema dei residui, e di conseguenza non ha neanche tanto senso classificare le singolarità.
\[
\frac{1}{1-q}=\sum_{n=0}^\infty q^n, \]
con
\[q=(-1)(z-1).\]
Ti sarei molto grato se postassi la discussione che hai menzionato, ritengo che mi gioverebbe approfondire l'argomento.
L'ho trovata ma è un po' confusa, non ti consiglio di leggerla. In ultima analisi, l'unica cosa che serve di quella discussione è questo link:
https://en.wikipedia.org/wiki/Meromorphic_function
Il teorema dei residui vale per funzioni meromorfe; ora, come puoi leggere nelle prime righe della pagina linkata, le funzioni meromorfe hanno, per definizione, solo singolarità isolate. Quindi in presenza di singolarità non isolate non si può applicare il teorema dei residui, e di conseguenza non ha neanche tanto senso classificare le singolarità.
Grazie dissonance! Tra poco ho l'esame di metodi matematici per l'ingegneria... Speriamo bene
In bocca al lupo
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