Calcolo di due integrali di funzioni complesse e polidrome
Studiando meccanica quantistica, mi sono imbattuto nel seguente argomento: "Atomo idrogenoide come problema di Keplero".
Ad un certo punto compaiono due integrali che dopo alcune semplificazioni possono essere scritti come:
$ I_1=int_(-a)^a sqrt(a^2-x^2)/(1-x^2)dx $ con a<1 e anche
$ I_2=int_(a)^b (sqrt(x-a)sqrt(b-x))/xdx $ con 0
Purtroppo negli appunti vengono presentate direttamente le soluzioni (senza dimostrazione).
Ho provato a risolvere questi due integrali passando ai complessi ma ottengo segni opposti rispetto a quelli della soluzione.
Ho usato il seguente procedimento:
1) Noto che in entrambi i casi ho a che fare con funzioni polidrome, le quali non presentano singolarità lungo il
percorso di integrazione, quindi decido di lavorare con un taglio tra -a e a per il primo integrale e tra a e b per il
secondo. Scelgo allora come percorso di integrazione la curva chiusa $ Gamma $ che gira attorno al taglio in senso
orario. $ Gamma $ si compone di 4 parti : due segmenti $ l_(+-) $ (uno sopra e l'altro sotto il taglio) e due due archi
di circonferenza centrati nei punti di diramazione $ gamma_epsilon ^(+-) $, con $ epsilon $ raggio infinitesimo .
2) L'integrale sulla curva $ Gamma $ dovrebbe essere uguale a $ -2ipisum_()Res[f(z),z_i] +2ipiRes[f(z),infty] $
dove nel primo integrale i residui al finito $ z_i=+-1 $ , mentre nel secondo $ z_i=0 $
3) Ma L'integrale sulla curva $ Gamma $ si scopone come somma degli integrali sugli archi $ gamma_epsilon ^(+-) $
che si annullano al limite per $ epsilon $ che tende a zero e degli integrali su $ l_(+-) $ che possono scrivere
come & 2I_1 & e & 2I_2 & nel secondo integrale.
A questo punto il problema si riduce a calcolo dei residui quindi:
4) Per il residuo al infinito uso il fatto che $ Res[f(z),infty]=-Res[f(1/omega)/omega^2, omega=0] $
5) Per i residui al finito noto che i punti singolari sono tutti poli semplici quindi uso la formula apposita.
Sono convinto di aver fatto bene i conti quindi o ho sbagliato qualcosa nel procedimento oppure ho sbagliato qualcosa nel costruire e parametrizzare il taglio. Potete aiutarmi a capire cosa devo correggere?
Ad un certo punto compaiono due integrali che dopo alcune semplificazioni possono essere scritti come:
$ I_1=int_(-a)^a sqrt(a^2-x^2)/(1-x^2)dx $ con a<1 e anche
$ I_2=int_(a)^b (sqrt(x-a)sqrt(b-x))/xdx $ con 0
Purtroppo negli appunti vengono presentate direttamente le soluzioni (senza dimostrazione).
Ho provato a risolvere questi due integrali passando ai complessi ma ottengo segni opposti rispetto a quelli della soluzione.
Ho usato il seguente procedimento:
1) Noto che in entrambi i casi ho a che fare con funzioni polidrome, le quali non presentano singolarità lungo il
percorso di integrazione, quindi decido di lavorare con un taglio tra -a e a per il primo integrale e tra a e b per il
secondo. Scelgo allora come percorso di integrazione la curva chiusa $ Gamma $ che gira attorno al taglio in senso
orario. $ Gamma $ si compone di 4 parti : due segmenti $ l_(+-) $ (uno sopra e l'altro sotto il taglio) e due due archi
di circonferenza centrati nei punti di diramazione $ gamma_epsilon ^(+-) $, con $ epsilon $ raggio infinitesimo .
2) L'integrale sulla curva $ Gamma $ dovrebbe essere uguale a $ -2ipisum_()Res[f(z),z_i] +2ipiRes[f(z),infty] $
dove nel primo integrale i residui al finito $ z_i=+-1 $ , mentre nel secondo $ z_i=0 $
3) Ma L'integrale sulla curva $ Gamma $ si scopone come somma degli integrali sugli archi $ gamma_epsilon ^(+-) $
che si annullano al limite per $ epsilon $ che tende a zero e degli integrali su $ l_(+-) $ che possono scrivere
come & 2I_1 & e & 2I_2 & nel secondo integrale.
A questo punto il problema si riduce a calcolo dei residui quindi:
4) Per il residuo al infinito uso il fatto che $ Res[f(z),infty]=-Res[f(1/omega)/omega^2, omega=0] $
5) Per i residui al finito noto che i punti singolari sono tutti poli semplici quindi uso la formula apposita.
Sono convinto di aver fatto bene i conti quindi o ho sbagliato qualcosa nel procedimento oppure ho sbagliato qualcosa nel costruire e parametrizzare il taglio. Potete aiutarmi a capire cosa devo correggere?
Risposte
Per quanto riguarda il secondo integrale, ti può aiutare la discussione sottostante:
viewtopic.php?f=54&t=193833&p=8382486#p8381385
viewtopic.php?f=54&t=193833&p=8382486#p8381385
"anonymous_0b37e9":
Per quanto riguarda il secondo integrale, ti può aiutare la discussione sottostante:
viewtopic.php?f=54&t=193833&p=8382486#p8381385
Ciao, ho guardato la dimostrazione che mi hai proposto ma alcune cose ancora non mi tornano:
Diciamo che:
$ z-a=|z-a|*e^(ieta_a) $ con $eta_a $ valutato in $0,2pi$
$ z-b=|z-b|*e^(ieta_b) $ con $eta_b$ valutato in $0,2pi$
Definisco $eta=eta_a +eta_b$
allora per z=0 si ha $eta=2pi$ e
Nel calcolo dei residui i risultati sarebbero:
$ Res[f,0]=lim_(z->0) (z-0)/z*sqrt((z-a)(b-z))=lim_(z->0) isqrt((z-a)(z-b))=lim_(z->0)ie^(ieta/2)sqrt(|z-a||z-b|)=ie^(ipi)sqrt(a*b)=-isqrt(a*b) $
$->2ipiRes[f,0]=2pisqrt(a*b) $ che torna come il risultato della soluzione da te postata.
Seguendo lo stesso ragionamento della soluzione arrivo a $2ipiRes[f(z),infty]=pi(a+b)$ che è uguale a quello della soluzione.
A questo punto non capisco quali operazioni devo eseguire per ottenere il risultato finale
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo