Calcolo derivata n-esima
Ciao a tutti, ho alcuni dubbi su un esercizio in cui si chiede di calcolare la derivata 22-esima nel punto x = 1 di una funzione $f(x) = (x-1)/(x^2-x-2)$.
Pensavo di scrivere la funzione nel seguente modo
$f(x) = 1/(3(x-2))+2/(3(x+1)) = f_1(x)+f_2(x)$
ed andare a lavorare sulle due funzioni che vado a trovare.
Pensavo di procedere cercando di ottenere lo sviluppo in serie di Taylor di ciascuna di esse e calcolare la derivata sfruttando il fatto che $D[f(1)]^22 = D[f_1(1)+f_2(1)]^22 = D[f_1(1)]^22 +D[f_2(1)]^22 $ usando la relazione che deduco dallo sviluppo in serie di Taylor $D[f(c)]^n = a_n*n!$.
Lavorando singolarmente su ciascuna funzione cerco di fa sì che queste si possano considerare come il risultato di una serie geometrica.
Ad esempio per $f_1$ ottengo:
$f_1(x) = 1/(3(x-2)) = -1/3*1/(1-(x-1))$
Volendo considerare questa come una serie geometrica penso che la ragione di questa debba essere compresa tra -1 e +1, cioè è necessario che $|x-1|<1$ da cui ottengo $0
Grazie a chi risponderà.
Pensavo di scrivere la funzione nel seguente modo
$f(x) = 1/(3(x-2))+2/(3(x+1)) = f_1(x)+f_2(x)$
ed andare a lavorare sulle due funzioni che vado a trovare.
Pensavo di procedere cercando di ottenere lo sviluppo in serie di Taylor di ciascuna di esse e calcolare la derivata sfruttando il fatto che $D[f(1)]^22 = D[f_1(1)+f_2(1)]^22 = D[f_1(1)]^22 +D[f_2(1)]^22 $ usando la relazione che deduco dallo sviluppo in serie di Taylor $D[f(c)]^n = a_n*n!$.
Lavorando singolarmente su ciascuna funzione cerco di fa sì che queste si possano considerare come il risultato di una serie geometrica.
Ad esempio per $f_1$ ottengo:
$f_1(x) = 1/(3(x-2)) = -1/3*1/(1-(x-1))$
Volendo considerare questa come una serie geometrica penso che la ragione di questa debba essere compresa tra -1 e +1, cioè è necessario che $|x-1|<1$ da cui ottengo $0
Grazie a chi risponderà.
Risposte
Ciao! Secondo me scritte come hai fatto tu
$$f_1(x)=\frac{1}{3(x-2)}$$
$$f_2(x)=\frac{2}{3(x+1)}$$
Sono facilmente gestibili anche semplicemente derivando qualche volta e individuando lo schema che caratterizza la derivata $n$-esima; prova a calcolare fino alla derivata quarta per $f_1$ e prova a individuare uno schema, una volta trovato lo puoi dimostrare rigorosamente per induzione.
Similmente puoi fare per $f_2$, poi puoi anche confrontare il risultato con la tua altra idea per vedere se torna (onestamente non ho fatto i conti, ma in passato ho usato quell'idea per calcolare una derivata $1000$-esima e quindi a intuito ti direi che funziona).
$$f_1(x)=\frac{1}{3(x-2)}$$
$$f_2(x)=\frac{2}{3(x+1)}$$
Sono facilmente gestibili anche semplicemente derivando qualche volta e individuando lo schema che caratterizza la derivata $n$-esima; prova a calcolare fino alla derivata quarta per $f_1$ e prova a individuare uno schema, una volta trovato lo puoi dimostrare rigorosamente per induzione.
Similmente puoi fare per $f_2$, poi puoi anche confrontare il risultato con la tua altra idea per vedere se torna (onestamente non ho fatto i conti, ma in passato ho usato quell'idea per calcolare una derivata $1000$-esima e quindi a intuito ti direi che funziona).
Ciao cozzaciccio,
Non è che si deve, ma diciamo che nel caso specifico è più opportuno procedere come ti ha suggerito Mephlip, magari generalizzando un po', nel senso che a meno di inessenziali costanti moltiplicative di fatto sei interessato a trovare $D^{n}(1/(ax + b)) $ ($a = 1 $ e $b = - 2$ per $f_1(x) $, $ a = b = 1 $ per $f_2(x)$).
Dopo averla scritta nella forma più comoda
$D^{n}(1/(ax + b)) = D^{n} (ax + b)^{-1}$
e scritto le prime tre o quattro derivate, non è difficile individuare lo schema di cui ti ha scritto Mephlip e poi dimostrare che si ha:
$D^{n}(1/(ax + b)) = D^{n} (ax + b)^{-1} = (-1)^n n! a^n (ax + b)^{-(n + 1)}$
"cozzaciccio":
Oppure si deve procedere in un altro modo?
Non è che si deve, ma diciamo che nel caso specifico è più opportuno procedere come ti ha suggerito Mephlip, magari generalizzando un po', nel senso che a meno di inessenziali costanti moltiplicative di fatto sei interessato a trovare $D^{n}(1/(ax + b)) $ ($a = 1 $ e $b = - 2$ per $f_1(x) $, $ a = b = 1 $ per $f_2(x)$).
Dopo averla scritta nella forma più comoda
$D^{n}(1/(ax + b)) = D^{n} (ax + b)^{-1}$
e scritto le prime tre o quattro derivate, non è difficile individuare lo schema di cui ti ha scritto Mephlip e poi dimostrare che si ha:
$D^{n}(1/(ax + b)) = D^{n} (ax + b)^{-1} = (-1)^n n! a^n (ax + b)^{-(n + 1)}$
Secondo me invece è meglio procedere come ha fatto cozzaciccio. Indovinare un pattern va benissimo, ma la maniera più sistematica di dimostrarlo è sicuramente lo sviluppo in serie di Taylor, fatto per mezzo della formula della serie geometrica.
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