Calcolo delle Variazioni:Minimo e Massimo di un Funzionale
Salve,facendo un po di ricerche su alcuni argomenti sono venuto a sapere di un campo dell'analisi matematica chiamata calcolo delle variazioni,tuttavia poiché non è molto semplice non ho ancora capito come trovare il minimo e il massimo di un funzionale.
Gentilmente,se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe spiegarmi come si fa?
Gentilmente,se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe spiegarmi come si fa?
Risposte
Propongo un esempio in cui i conti possono essere fatti tutti in modo esplicito, in modo da far apprezzare ai curiosi come possono interagire i metodi moderni e classici del CdV.
***
Problema:
Posto:
\[
I := \int_0^1 \mathbf{e}^x\ \left( u^2(x) + \frac{1}{2}\ (u^\prime)^2 (x)\right)\ \text{d} x\; ,
\]
risolvere il problema:
\[
\min \left\{ I,\ u\in C^1([0,1]) \text{ tale che } u(0)=0 \text{ ed } u(1)=\mathbf{e}\right\}\; .
\]
In altre parole, stabilire se il funzionale $I$ è limitato inferiormente nella classe:
\[
X:=\{u \in C^1([0,1]):\ u(0)=0,\ u(1)=\mathbf{e}\}
\]
e, se possibile, calcolarne il minimo e le funzioni estremanti.
***
Soluzione:
Per risolvere il problema lo segmentiamo e, in ordine, discutiamo:
[list=1][*:2ncn1kvv] Esistenza: la soluzione esiste usando il Metodo Diretto,
[/*:m:2ncn1kvv]
[*:2ncn1kvv] Unicità: la soluzione è unica usando la convessità dell'integrando,
[/*:m:2ncn1kvv]
[*:2ncn1kvv] Regolarità: la soluzione del problema è tanto regolare quanto serve per riuscire a scrivere l'equazione di Eulero-Lagrange associata al funzionale,
[/*:m:2ncn1kvv]
[*:2ncn1kvv] Calcolo Esplicito: la soluzione si può determinare esplicitamente usando l'equazione di Eulero-Lagrange associata al funzionale.[/*:m:2ncn1kvv][/list:o:2ncn1kvv]
Cominciamo considerando il punto 1.
Andiamo al punto 2.
Il punto 3 è quello, in generale, davvero spinoso...
Infine, punto 4, calcoliamo gli estremanti ed il valore del minimo.
***
Problema:
Posto:
\[
I := \int_0^1 \mathbf{e}^x\ \left( u^2(x) + \frac{1}{2}\ (u^\prime)^2 (x)\right)\ \text{d} x\; ,
\]
risolvere il problema:
\[
\min \left\{ I,\ u\in C^1([0,1]) \text{ tale che } u(0)=0 \text{ ed } u(1)=\mathbf{e}\right\}\; .
\]
In altre parole, stabilire se il funzionale $I$ è limitato inferiormente nella classe:
\[
X:=\{u \in C^1([0,1]):\ u(0)=0,\ u(1)=\mathbf{e}\}
\]
e, se possibile, calcolarne il minimo e le funzioni estremanti.
***
Soluzione:
Per risolvere il problema lo segmentiamo e, in ordine, discutiamo:
[list=1][*:2ncn1kvv] Esistenza: la soluzione esiste usando il Metodo Diretto,
[/*:m:2ncn1kvv]
[*:2ncn1kvv] Unicità: la soluzione è unica usando la convessità dell'integrando,
[/*:m:2ncn1kvv]
[*:2ncn1kvv] Regolarità: la soluzione del problema è tanto regolare quanto serve per riuscire a scrivere l'equazione di Eulero-Lagrange associata al funzionale,
[/*:m:2ncn1kvv]
[*:2ncn1kvv] Calcolo Esplicito: la soluzione si può determinare esplicitamente usando l'equazione di Eulero-Lagrange associata al funzionale.[/*:m:2ncn1kvv][/list:o:2ncn1kvv]
Cominciamo considerando il punto 1.
Andiamo al punto 2.
Il punto 3 è quello, in generale, davvero spinoso...
Infine, punto 4, calcoliamo gli estremanti ed il valore del minimo.
Grazie,ancora,credo di aver capito come si risolvono i problemi usando entrambi i metodi