Calcolo delle Variazioni:Minimo e Massimo di un Funzionale
Salve,facendo un po di ricerche su alcuni argomenti sono venuto a sapere di un campo dell'analisi matematica chiamata calcolo delle variazioni,tuttavia poiché non è molto semplice non ho ancora capito come trovare il minimo e il massimo di un funzionale.
Gentilmente,se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe spiegarmi come si fa?
Gentilmente,se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe spiegarmi come si fa?
Risposte
E' un argomento complesso e molto vasto, in generale non c'e' una metodologia unica, ma per farti un'idea di quello che accade basta che pensi all'analogia con i problemi di massimo/minimo in dimensione finita, anche nel Calcolo delle Variazioni classico si cerca di mettere a 0 una specie di derivata prima del funzionale, chiamata, da Eulero e Lagrange, variazione prima, da cui il nome Calcolo delle Variazioni. Questo e' solo il punto di partenza, se sei interessato/a ad altro ti posso dare riferimenti che partono da zero.
Grazie per la risposta.
Ti sarei molto grato se mi potresti dare qualche riferimento,ovviamente solo se non ti reca disturbo.
Ti sarei molto grato se mi potresti dare qualche riferimento,ovviamente solo se non ti reca disturbo.
Un libro di testo semplice e che ti introduce alla parte classica ma va anche alla parte moderna e' il seguente:
J.Jost, X.Li-Jost, Calculus of Variations, Cambridge Univ.Press, 1999
Trovi invece tanto materiale in rete, per esempio le note della prof. Mascolo di Firenze sono ottime:
http://web.math.unifi.it/users/mascolo/ ... oni-08.pdf
J.Jost, X.Li-Jost, Calculus of Variations, Cambridge Univ.Press, 1999
Trovi invece tanto materiale in rete, per esempio le note della prof. Mascolo di Firenze sono ottime:
http://web.math.unifi.it/users/mascolo/ ... oni-08.pdf
Ti ringrazio.
Ho letto il PDF,che ai linkato e se ho capito bene per calcolare il minimo di un funzionale $I$ dove
$ I=int_a^bL(x,y(x),d/(dx)y(x))dx $
devo risolvere la seguente equazione differenziale:
$ (L(x,y(x),d/(dx)y(x)))/dy-d/(dx)((L(x,y(x),d/(dx)y(x)))/(d(d/dxy)))=0 $
mentre non ho ancora capito cosa fare nel caso io abbia un funzionale $J$ dove
$ J=int_a^bL(x,y(x),d/(dx)y(x),u(x),d/dxu(x))dx $
$ I=int_a^bL(x,y(x),d/(dx)y(x))dx $
devo risolvere la seguente equazione differenziale:
$ (L(x,y(x),d/(dx)y(x)))/dy-d/(dx)((L(x,y(x),d/(dx)y(x)))/(d(d/dxy)))=0 $
mentre non ho ancora capito cosa fare nel caso io abbia un funzionale $J$ dove
$ J=int_a^bL(x,y(x),d/(dx)y(x),u(x),d/dxu(x))dx $
Devi guardare come si passa dal funzionale alle equazioni di Eulero-Lagrange, e' quello che ti dicevo all'inizio, quelle equazioni che hai scritto sono praticamente l'equazione $I'=0$, guarda come sono state trovate e ripeti lo stesso argomento.
Quindi se ho capito bene partendo da un funzionale $J$ dove
$ J=int_a^bL(x,y(x),d/(dx)y(x),u(x),d/dxu(x))dx $
ottengo un sistema di equazioni di Eulero-Lagrange:
$ { ( (L(x,y(x),d/(dx)y(x),u(x),d/dxu(x)))/dy-d/(dx)((L(x,y(x),d/(dx)y(x),u(x),d/dxu(x)))/(d(d/dxy)))=0 ),( (L(x,y(x),d/(dx)y(x),u(x),d/dxu(x)))/(du)-d/(dx)((L(x,y(x),d/(dx)y(x),u(x),d/dxu(x)))/(d(d/dxu)))=0 ):} $
giusto?
$ J=int_a^bL(x,y(x),d/(dx)y(x),u(x),d/dxu(x))dx $
ottengo un sistema di equazioni di Eulero-Lagrange:
$ { ( (L(x,y(x),d/(dx)y(x),u(x),d/dxu(x)))/dy-d/(dx)((L(x,y(x),d/(dx)y(x),u(x),d/dxu(x)))/(d(d/dxy)))=0 ),( (L(x,y(x),d/(dx)y(x),u(x),d/dxu(x)))/(du)-d/(dx)((L(x,y(x),d/(dx)y(x),u(x),d/dxu(x)))/(d(d/dxu)))=0 ):} $
giusto?
forse, le notazioni non sono usuali... in ogni caso anche $J$ e' dello stesso tipo di $I$, basta che in $I$ prendi $y$ che ha valori in $\mathbb R^{2n}$ invece che in $\mathbb R^n$...
Ti ringrazio per avermi risposto di nuovo,ma se non ti disturba troppo potresti rispondere,gentilmente,agli ultimi dubbi che ho per adesso,che sono i seguenti:
Quindi tralasciando le notazioni va bene come soluzione?
E ora partendo dalla variazione prima come posso ottenere il massimo e il minimo?
(perché se non sbaglio quello che ho calcolato sopra è la variazione prima e non il massimo e il minimo)
Quindi tralasciando le notazioni va bene come soluzione?
E ora partendo dalla variazione prima come posso ottenere il massimo e il minimo?
(perché se non sbaglio quello che ho calcolato sopra è la variazione prima e non il massimo e il minimo)
"mklplo":
Quindi tralasciando le notazioni va bene come soluzione?
si
"mklplo":
E ora partendo dalla variazione prima come posso ottenere il massimo e il minimo?
(perché se non sbaglio quello che ho calcolato sopra è la variazione prima e non il massimo e il minimo)
Le equazioni di Eulero-Lagrange sono condizioni necessarie affinche' $y$ minimizzi, o massimizzi, il funzionale $I$; e' come in dimensione finita, l'equazione $\nabla f=0$ ti fornisce solo i punti stazionari, che potrebbero essere di massimo, di minimo, nessuno dei due. Quello che classicamente si fa e' proseguire con le variazioni, ovvero per esempio calcolare la variazione seconda andando a vedere il suo "segno" (analogia col segno della derivata seconda). C'e' pero' un problema serio in tutta questa teoria classica: e' necessario saper risolvere esplicitamente le equazioni di Eulero-Lagrange per poi studiare eventualmente il segno della variazione seconda. In alcuni casi classici si puo' fare, trovi molto in giro su catenaria, brachistocrona per esempio. Come e' ben noto pero' le equazioni differenziali non si risolvono praticamente mai esplicitamente: ti faccio anche notare che per problemi variazionali che coinvolgono integrali multipli hai addirittura un sistema di equazioni alle derivate parziali. Bisogna quindi trovare un'altra strada, rappresentata dai cosiddetti metodi diretti del Calcolo delle Variazioni che risalgono a Hilbert: trovare un modo per dimostrare "direttamente" che $I$ ha un punto di minimo assoluto. Qui si entra nel Calcolo delle Variazioni moderno ma e' necessario avere sotto l'analisi funzionale perche' l'idea di Hilbert e' che uno debba cercare di scrivere un teorema di esistenza "alla Weierstrass", quindi bisogna sapere cosa vuol dire che $I$ e' continuo, che e' definito su un compatto, ecc... Sulle note linkate trovi tutto.
Grazie per aver risposto,però ora mi sorge un dubbio,hai detto che oltre la variazione prima si studia anche il segno della variazione seconda,ma quest'ultima come si ottiene,ho provato a cercare ma non capisco come ottenere una forma simile a quella delle equazioni di Eulero-Lagrange,se non ti dispiace ti dispiacerebbe spiegarmi come trovare la variazione seconda?
Formalmente, dato un funzionale $I:=\int L(x,u (x),u^\prime(x))\text{d} x$ (scalare con funzione variabile anche scalare), la variazione prima e seconda si trovano sfruttando il polinomio di Taylor della funzione $i(t):=I[u_0+t\phi]$ del parametro $t$ con centro in $t_0=0$ d'ordine $2$ (qui $u_0$ è la soluzione dell'equazione di E-L).
La variazione seconda è una forma quadratica nella $\phi$ e dovrebbe essere del tipo:
\[
\delta^2 I = Q[\phi] = \int \left( \phi^2(x) L_{u,u} (x,u_0(x), u_0^\prime (x)) + 2 \phi(x) \phi^\prime (x) L_{u,u^\prime} (x,u_0(x),u_0^\prime (x)) + (\phi^\prime (x))^2 L_{u^\prime, u^\prime} (x,u_0(x), u_0^\prime (x))\right)\ \text{d}x\; .
\]
La soluzione $u_0$ dell'equazione di E-L è un minimo [risp. massimo] locale per $I$ se la forma quadratica $Q[\phi]$ è definita positiva [risp. negativa].
Per problemi in più incognite o in più dimensioni, la variazione seconda assume forme più complicate che si possono ricavare "a mano" una volta capita la tecnica per i casi base.
A volte, un'altra tecnica classica può essere più utile della variazione seconda: è lo studio del segno della cosiddetta funzione di errore $E$ di Weierstrass. L'idea che c'è sotto è sempre quella di riportarsi allo studio della convessità/concavità di qualcosa.
Ovviamente, anche in questo caso ci sono variazioni nel caso di problemi con più incognite o in più dimensioni.
Ovviamente, vale quanto già detto da Luca: le tecniche classiche funzionano e forniscono la soluzione in forma pressoché esplicita a patto di saper risolvere l'equazione di E-L, cosa che è impossibile il più delle volte.
In particolare, la variazione seconda è quasi impossibile da esprimere in forma "pulita", proprio perchè vi figura esplicitamente la soluzione $u_0$ dell'equazione di E-L.
La variazione seconda è una forma quadratica nella $\phi$ e dovrebbe essere del tipo:
\[
\delta^2 I = Q[\phi] = \int \left( \phi^2(x) L_{u,u} (x,u_0(x), u_0^\prime (x)) + 2 \phi(x) \phi^\prime (x) L_{u,u^\prime} (x,u_0(x),u_0^\prime (x)) + (\phi^\prime (x))^2 L_{u^\prime, u^\prime} (x,u_0(x), u_0^\prime (x))\right)\ \text{d}x\; .
\]
La soluzione $u_0$ dell'equazione di E-L è un minimo [risp. massimo] locale per $I$ se la forma quadratica $Q[\phi]$ è definita positiva [risp. negativa].
Per problemi in più incognite o in più dimensioni, la variazione seconda assume forme più complicate che si possono ricavare "a mano" una volta capita la tecnica per i casi base.
A volte, un'altra tecnica classica può essere più utile della variazione seconda: è lo studio del segno della cosiddetta funzione di errore $E$ di Weierstrass. L'idea che c'è sotto è sempre quella di riportarsi allo studio della convessità/concavità di qualcosa.
Ovviamente, anche in questo caso ci sono variazioni nel caso di problemi con più incognite o in più dimensioni.
Ovviamente, vale quanto già detto da Luca: le tecniche classiche funzionano e forniscono la soluzione in forma pressoché esplicita a patto di saper risolvere l'equazione di E-L, cosa che è impossibile il più delle volte.
In particolare, la variazione seconda è quasi impossibile da esprimere in forma "pulita", proprio perchè vi figura esplicitamente la soluzione $u_0$ dell'equazione di E-L.
Infatti, vorrei quindi rafforzare questa cosa, perche' mi sembra di capire che mklplo voglia un metodo per trovare i punti di massimo e/o di minimo. La teoria classica non va bene, e' bene sapere che c'e', a volte puo' essere utile per derivare condizioni necessarie quando uno ha in mano, almeno teoricamente, un punto di minimo, ma e' ormai superata come teoria per avere esistenza dei minimi, oggi la strada da seguire e' il metodo diretto che e' molto piu' potente poiche' fondato sull'analisi funzionale.
Vi ringrazio entrambi,da quello che ho capito è che il metodo migliore è quello diretto,tuttavia sia leggendo i PDF che mi sono stati linkati,sia facendo ricerche mie non ho ancora ben capito,in sintesi,come si fa ad ottenere dei punti di massimo e/o minimo.Ad esempio se mi si chiedesse di risolvere il problema del brachistocrona con metodi classici lo saprei risolvere,ma con i metodi diretti non ci capisco niente.Vi dispiacerebbe,sempre se non vi reca disturbo,aiutarmi a capire questi metodi,magari con un esempio?
Ci penso e ti rispondo con calma (stasera o domani). 
Comunque, in generale, ti farà bene tenere presente che sono problemi distinti: l'esistenza della soluzione, l'unicità della soluzione, il calcolo effettivo della soluzione.
Il metodo diretto è un insieme di tecniche astratte per provare l'esistenza della soluzione.
L'unicità, usualmente, si accomoda usando la convessità o altre proprietà simili.
Il calcolo esplicito della soluzione si può fare solo risolvendo l'equazione di E-L (cioè quasi mai).
Comunque, in generale, ti farà bene tenere presente che sono problemi distinti: l'esistenza della soluzione, l'unicità della soluzione, il calcolo effettivo della soluzione.
Il metodo diretto è un insieme di tecniche astratte per provare l'esistenza della soluzione.
L'unicità, usualmente, si accomoda usando la convessità o altre proprietà simili.
Il calcolo esplicito della soluzione si può fare solo risolvendo l'equazione di E-L (cioè quasi mai).
Va bene,ti ringrazio
Brevemente, ecco la potenza del metodo diretto applicato per esempio alla brachistocrona o alla catenaria, poi gugo se vuole puo' aggiungere dettagli. Tu col metodo diretto dimostri, in astratto, che il funzionale della brachistocrona, o della catenaria, deve avere minimo (non e' facilissimo comunque, sono funzionali a crescita lineare, la cosa non e' banale), e sei a cavallo, perche' necessariamente questo minimo deve soddisfare le equazioni di E-L, le scrivi e le risolvi con le condizioni al bordo opportuno e vedi che hanno solo una soluzione, che per forza e' il minimo cercato. Ecco come tipicamente si usa la teoria classica.
in pratica con i metodi diretti trovo le condizioni al bordo per le equazioni di E-L,ma non una soluzione esplicita giusto?
No, col metodo diretto tu puoi dire con certezza che c'e' una soluzione del problema di minimo, puo' sembrare poco agli occhi inesperti ma in realta' e' il punto chiave, perche' una volta che sai che il tuo funzionale deve avere un minimo allora scrivi le equazioni di EL e cerchi di integrarle, se il tuo problema ha anche delle condizioni al bordo e sei fortunato le te equazioni EL hanno una sola soluzione, che risolve il tuo problema di minimo.
Ti ringrazio della risposta,se ho capito,i metodi diretti sono quelli che mi assicura che abbia o meno soluzione,effettivamente se sapessi in anticipo se esiste o meno il minimo eviterei di fare sforzi inutili per arrivare ad una soluzione che non c'è.
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