Calcolo dei residui

[Allee1]

Salve, vi scrivo sperando possiate aiutarmi sul seguente esercizio:
Devo calcolare il residuo in $ (3pi)/2 $ della funzione $ f(z)=(e^(iz)-i)/(cos^2z) $ , per tale funzione il punto $ (3pi)/2 $ rappresenta un polo del secondo ordine dunque per determinare il residuo applico

$ Res(f,(3pi)/2)=lim_(z -> (3pi)/2) [((z-(3pi)/2)(e^(iz)-i))/(cos^2z)]^{\prime} $

A questo punto svolgendo la derivata otterrei

$ lim_(z -> (3pi)/2) [(e^(iz)-i)/(cos^2z)+((z-(3pi)/2)(ie^(iz)cos^2z-2(e^(iz)-i)coszsenz))/(cos^4z)] $

Vorrei chiedervi se innanzitutto il ragionamento è corretto e se c'è un modo più semplice per calcolare il residuo perchè la relazione ottenuta, dopo il calcolo della derivata, mi risulta scomoda da determinare.
Vi ringrazio anticipatamente per le eventuali risposte.

[Studente Anonimo]

Se ne era discusso anche qui:

viewtopic.php?f=54&t=181798

Puoi procedere più agevolmente sviluppando al 1° ordine, non la funzione $g(z)$ in $[z=\3/2\pi]$:

$g(z)=f(z)(z-3/2\pi)^2=((e^(iz)-i)(z-3/2\pi)^2)/cos^2z$

piuttosto, la funzione $h(w)$ in $[w=0]$:

$[z=w+3/2\pi] rarr [h(w)=g(w+3/2\pi)=([e^(i(w+3/2\pi))-i]w^2)/cos^2(w+3/2\pi)=(-i(e^(iw)+1)w^2)/sin^2w]$

Il primo termine dello sviluppo dovrebbe essere $-2i$:

"anonymous_0b37e9":
$[z=w+3/2\pi] rarr$

$rarr [lim_(z->3/2\pi)((e^(iz)-i)(z-3/2\pi)^2)/cos^2z=lim_(w->0)([e^(i(w+3/2\pi))-i]w^2)/cos^2(w+3/2\pi)=lim_(w->0)(-i(e^(iw)+1)w^2)/sin^2w=-2i]$

Infatti:

$[h(w)=(-i(e^(iw)+1)w^2)/sin^2w=(-i(1+iw+o(w)+1)w^2)/(w+o(w))^2=-2i+o(1)]$

Ad ogni modo, qui c'è un errore:

"Allee":
$Res(f,(3pi)/2)=lim_(z ->(3pi)/2)[((z-(3pi)/2)(e^(iz)-i))/(cos^2z)]^{\prime}$

Trattandosi di un polo del 2° ordine, prima di derivare, devi moltiplicare per il quadrato del binomio:

$Res(f,(3pi)/2)=lim_(z ->(3pi)/2)[((z-(3pi)/2)^2(e^(iz)-i))/(cos^2z)]^{\prime}$