C[0,1] e C[a,b] sono isometrici.

[Lèo114]

Ciao ragazzi, avrei bisogno di una mano a trovare un'isometria che renda il titolo vero; la metrica in questione è sempre \(\displaystyle d(x,y)=\begin{matrix}\max_{t\in I}\end{matrix}|x(t)-y(t)| \). L'unica cosa che ho in mente: trovare un modo per far sì che la massima distanza tra ogni coppia di funzioni sia raggiunta su \(\displaystyle (0,1) \) con una traslazione opportuna. Ma nel concreto non ho nulla... voi cosa potete dirmi?

[Rigel1]

Puoi associare alla funzione \(u\in C([0,1])\) la funzione \(v(t) := u((t-a)/(b-a))\), \(t\in [a,b]\).

[Lèo114]

Come ci sei arrivato?

[killing_buddha]

"Lèo":Come ci sei arrivato?

Ha chiesto al fantasma di Lebesgue.

Come vuoi che ci sia arrivato? Hai dei dati, devi far tornare un conto, dài dei calci al problema finché non risponde.

Più seriamente: forse una isometria tra $[0,1]$ e $[a,b]$ induce "in qualche modo" una isometria tra \(C([0,1])\) e \(C([a,b])\).

[vict85]

"killing_buddha":[quote="Lèo"]Come ci sei arrivato?

Ha chiesto al fantasma di Lebesgue.

Come vuoi che ci sia arrivato? Hai dei dati, devi far tornare un conto, dài dei calci al problema finché non risponde.

Più seriamente: forse una isometria tra $[0,1]$ e $[a,b]$ induce "in qualche modo" una isometria tra \(C([0,1])\) e \(C([a,b])\).[/quote]

Quello che suppongo volessi dire è che preso un qualsiasi omeomorfismo \(\displaystyle v \colon [a,b] \to [0,1] \) allora la mappa \(\displaystyle \phi_v\colon \mathcal{C}\bigl([a,b]\bigr) \to\mathcal{C}\bigl([a,b]\bigr) \) definita come \(\displaystyle \phi_v\colon f\mapsto f\circ v \) è una isometria (suriettiva) con inversa \(\displaystyle \phi_v^{-1}\colon g\mapsto g\circ v^{-1} \). La dimostrazione non è complicata.