Approssimazione con serie di Fourier
Premetto che sono alle prime armi con l'argomento quindi siate clementi 
Sono dati $f(x)=x$ con $x\in]0,\pi[$ e la serie $\sum_{\nu =1}^{+\infty} (-1)^{\nu +1}\frac{2}{\nu}\sin(\nu x)$. Mi viene chiesto di determinare il minimo $n$ per cui $||f(x)-s_n(x)||<\frac{1}{2}$ dove $s_n$ è la somma parziale della precedente fino all'$n$-esimo termine.
Io ho pensato di utilizzare una proprietà data in precedenza negli stessi appunti ovvero:
$$||f(x)||^2-\sum_{|\nu| \leq n}|c_\nu|^2 ||\phi_n||^2 = ||f(x)-s_n(x)||^2$$
Cercando di adattarla al mio esercizio mi sono trovato con
$$\frac{\pi^3}{3}-\sum_{\nu =1}^{n} \Big| (-1)^{\nu +1}\frac{2}{\nu}\Big|^2 \frac{\pi}{2} = ||x-s_n(x)||^2 \Rightarrow \frac{\pi^3}{3}-\sum_{\nu =1}^{n} \frac{4}{\nu^2} \frac{\pi}{2} < \frac{1}{4} \Rightarrow \sum_{\nu =1}^{n} \frac{1}{\nu^2} > \frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{8\pi}$$
Il problema è che il risultato riportato dovrebbe essere $n=6$ ma facendo qualche calcolo la relazione che ho trovato richiede valori di $n$ molto più grandi. Sapreste suggerirmi cosa mi sono perso?
Sono dati $f(x)=x$ con $x\in]0,\pi[$ e la serie $\sum_{\nu =1}^{+\infty} (-1)^{\nu +1}\frac{2}{\nu}\sin(\nu x)$. Mi viene chiesto di determinare il minimo $n$ per cui $||f(x)-s_n(x)||<\frac{1}{2}$ dove $s_n$ è la somma parziale della precedente fino all'$n$-esimo termine.
Io ho pensato di utilizzare una proprietà data in precedenza negli stessi appunti ovvero:
$$||f(x)||^2-\sum_{|\nu| \leq n}|c_\nu|^2 ||\phi_n||^2 = ||f(x)-s_n(x)||^2$$
Cercando di adattarla al mio esercizio mi sono trovato con
$$\frac{\pi^3}{3}-\sum_{\nu =1}^{n} \Big| (-1)^{\nu +1}\frac{2}{\nu}\Big|^2 \frac{\pi}{2} = ||x-s_n(x)||^2 \Rightarrow \frac{\pi^3}{3}-\sum_{\nu =1}^{n} \frac{4}{\nu^2} \frac{\pi}{2} < \frac{1}{4} \Rightarrow \sum_{\nu =1}^{n} \frac{1}{\nu^2} > \frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{8\pi}$$
Il problema è che il risultato riportato dovrebbe essere $n=6$ ma facendo qualche calcolo la relazione che ho trovato richiede valori di $n$ molto più grandi. Sapreste suggerirmi cosa mi sono perso?
Risposte
"NomeGiaInUso":
Io ho pensato di utilizzare una proprietà data in precedenza negli stessi appunti ovvero:
$$||f(x)||^2-\sum_{|\nu| \leq n}|c_\nu|^2 ||\phi_n||^2 = ||f(x)-s_n(x)||^2$$
Puoi riportare l'enunciato? Perche' cosi' e' falsa, ti stai perdendo i prodotti scalari. Vedi gia' per \(n = 1 \): \[ \|f(x) - s_1 (x) \|_2 ^2 = \|f\|_2 ^2 + \| c_1 \phi_1 \|_2 ^2 - 2 \langle f, c_1 \phi_1 \rangle \] con \[ \langle f, c_1 \phi_1 \rangle \simeq \int_0 ^\pi x \sin(x) = \pi. \]
Probabilmente ho trascurato qualcosa io. La relazione viene proposta come corollario al teorema che prova una proprietà dei coefficienti di Fourier $c_m$ per cui dato un insieme qualsiasi di complessi $d_m$ si ha
$$||f(x)-\sum_{|\nu|\leq n} c_\nu\phi_\nu(x)||\leq ||f(x)-\sum_{|\nu|\leq n} d_\nu\phi_\nu(x)||$$
Raccogliendo le ipotesi da teoremi e corollari vari l'enunciato che ho usato dovrebbe essere: supposto che $\phi_m(x)$ con $x\in]a,b[$ e $m\in I$ sia un sistema ortogonale, che $f(x)$ sia una funzione in $\mathbb{C}$ quadrato integrabile su $]a,b[$ e che $\sum_{m\in\ I} c_m\phi_m(x)$ sia la serie di $f(x)$ allora detta $s_n(x)$ la somma parziale $n$-esima si ha
$$||f(x)-s_n(x)||^2 = ||f(x)||^2-\sum_{|\nu|\leq n} |c_\nu|^2||\phi_\nu||^2$$
$$||f(x)-\sum_{|\nu|\leq n} c_\nu\phi_\nu(x)||\leq ||f(x)-\sum_{|\nu|\leq n} d_\nu\phi_\nu(x)||$$
Raccogliendo le ipotesi da teoremi e corollari vari l'enunciato che ho usato dovrebbe essere: supposto che $\phi_m(x)$ con $x\in]a,b[$ e $m\in I$ sia un sistema ortogonale, che $f(x)$ sia una funzione in $\mathbb{C}$ quadrato integrabile su $]a,b[$ e che $\sum_{m\in\ I} c_m\phi_m(x)$ sia la serie di $f(x)$ allora detta $s_n(x)$ la somma parziale $n$-esima si ha
$$||f(x)-s_n(x)||^2 = ||f(x)||^2-\sum_{|\nu|\leq n} |c_\nu|^2||\phi_\nu||^2$$
"NomeGiaInUso":
[...] la somma parziale $n$-esima si ha
$$||f(x)-s_n(x)||^2 = ||f(x)||^2-\sum_{|\nu|\leq n} |c_\nu|^2||\phi_\nu||^2$$
Questo e' falso gia' per \(n = 1 \) perche' \(f\) e \( \phi_1 \) non sono necessariamente ortogonali. Fossi in te farei tutti i conti usando bene la definizione di norma-2 come prodotto scalare. Alcuni dei termini \( \langle f, \phi_\nu \rangle \) sono non-nulli quindi contribuiscono.
Edit. Errore.
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
\[ \|f \|_2 ^2 = \left| \int_0^\pi x^2 \, dx \right|^2 = \left( \left[ \frac{x^3}{3} \right]^{\pi} _0 \right)^2 = \frac{\pi^6}{9}. \]
Non so se è un problema di notazioni o ingenuità mia ma seguendo le definizioni che mi viengono date $||f||=(\int_a^b|f(x)|^2dx)^{\frac{1}{2}}$ e $||f||^2=
"NomeGiaInUso":
[quote="080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6"] \[ \|f \|_2 ^2 = \left| \int_0^\pi x^2 \, dx \right|^2 = \left( \left[ \frac{x^3}{3} \right]^{\pi} _0 \right)^2 = \frac{\pi^6}{9}. \]
Non so se è un problema di notazioni o ingenuità mia ma seguendo le definizioni che mi viengono date $||f||=(\int_a^b|f(x)|^2dx)^{\frac{1}{2}}$ e $||f||^2=
No hai ragione tu qui. Ho editato il messaggio precedente.
Innanzitutto grazie per le risposte.
Ho provato a ripartire dalle definizioni usando il fatto che nell'esercizio specifico le funzioni e i coefficienti $c_m$ sono tutti reali quindi $ = $, il sistema è ortogonale e i coefficienti vengono definiti come $c_m=\frac{}{||\sin(mx)||^2}$.
$|| x-\sum_{\nu =1}^nc_\nu\sin(\nu x) ||^2 = =$
$= -2\sum_{\nu =1}^nc_\nu+\sum_{\nu =1}^n c_\nu^2<\sin(\nu x),\sin(\nu x)> = $
$= ||x||^2 - 2\sum_{\nu =1}^n c_\nu c_\nu||\sin(\nu x)||^2 +\sum_{\nu =1}^n c_\nu^2||\sin(\nu x)||^2 = $
$= ||x||^2 - 2\sum_{\nu =1}^n c_\nu^2||\sin(\nu x)||^2 +\sum_{\nu =1}^n c_\nu^2||\sin(\nu x)||^2 =$
$= ||x||^2 - \sum_{\nu =1}^n c_\nu^2||\sin(\nu x)||^2$
E mi sono ritrovato al punto di partenza
Ho provato a ripartire dalle definizioni usando il fatto che nell'esercizio specifico le funzioni e i coefficienti $c_m$ sono tutti reali quindi $
$|| x-\sum_{\nu =1}^nc_\nu\sin(\nu x) ||^2 =
$=
$= ||x||^2 - 2\sum_{\nu =1}^n c_\nu c_\nu||\sin(\nu x)||^2 +\sum_{\nu =1}^n c_\nu^2||\sin(\nu x)||^2 = $
$= ||x||^2 - 2\sum_{\nu =1}^n c_\nu^2||\sin(\nu x)||^2 +\sum_{\nu =1}^n c_\nu^2||\sin(\nu x)||^2 =$
$= ||x||^2 - \sum_{\nu =1}^n c_\nu^2||\sin(\nu x)||^2$
E mi sono ritrovato al punto di partenza
Non e' vero che \( \langle x , \sin( \nu x) \rangle = \| \sin( \nu x ) \|_2 ^2 \). Come avete definito il prodotto scalare \( \langle \cdot , \cdot \rangle \)?
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
Non e' vero che \( \langle x , \sin( \nu x) \rangle = \| \sin( \nu x ) \|_2 ^2 \). Come avete definito il prodotto scalare \( \langle \cdot , \cdot \rangle \)?
La sostituzione che ho fatto è $
La definizione di prodotto scalare che mi viene fornita è $
Definiamo \( s_n (x) = \sum_{\nu = 1}^n (-1)^{\nu + 1} 2 \sin( \nu x) / \nu \). Siamo interessati a determinare il piu' piccolo \(n\) tale che \[ \langle x - s_n (x) , x - s_n (x) \rangle_{L^2 ([0, \pi])} < 1 / 4. \] Espandendo il termine a sinistra abbiamo \[ \langle x - s_n (x) , x - s_n (x) \rangle_{L^2 ([0, \pi])} = \|x\|_2 ^2 + \|s_n(x)\|_2 ^2 - 2 \langle x, s_n (x) \rangle \qquad (*). \] Vediamoli uno per volta. Il primo e' \[\|x\|_2 ^2 = \int_0^\pi x^2 \, dx = \pi^3 / 3; \] il secondo diventa, usando l'ortogonalita' dei seni, \[ \|s_n(x)\|_2 ^2 = \sum_{\nu = 1}^n 4 \|\sin( \nu x ) \|_2 ^2 / \nu^2 = 2\pi\sum_{\nu = 1}^n \frac{1}{\nu^2}; \] per il terzo termine dobbiamo calcolare \[ \int_0^\pi x \sin( \nu x) \, dx = \frac{\sin(\pi \nu) - \pi \nu \cos(\pi \nu)}{\nu^2} = (-1)^{\nu + 1} \frac{\pi}{\nu}. \] Tornando a \((*)\) abbiamo in effetti che e' pari a \[ d_n = \frac{\pi^3}{3} - 2 \pi \sum_{\nu = 1}^n \frac{1}{\nu^2} \] come avevi scritto te all'inizio. Per \( n \to \infty\) questa roba va a zero perche' \( \lim_n \sum_{\nu = 1}^n 1 / \nu^2 = \pi^2 / 6 \); per \(n=6\) abbiamo \[d_6 = \frac{\pi^3}{3} - \frac{5369}{1800} \pi \approx 0.9647 \] quindi mi trovo con quello che dici, che sembra essere corretto. Sara' sbagliata la soluzione.
Grazie mille per le risposte.
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