Approssimare funzioni continue con Lipschitz continue
Buondì, avrei bisogno di una dimostrazione (o di un'indicazione dove reperirla) del seguente fatto:
Dove con \( C_b(X) \) intendo l'insieme delle funzioni da $X$ in $\mathbb{R}$ continue e limitate mentre con \( \text{Lip}_b(X) \) intendo l'insieme delle funzioni da $X$ in $\mathbb{R}$ lipschitziane e limitate.
Non ho pensato granché a come si può dimostrare quindi, se fosse una cosa fattibile senza grandi idee, mi va bene anche un'indicazione su come procedere!
Teorema
Sia $(X,d)$ uno spazio metrico separabile e completo. Sia \( f \in C_b(X) \), allora esistono due successioni \( \{ g_n \}_{n \ge 1} , \{ h_n \}_{n \ge 1} \subset \text{Lip}_b(X) \) tali che
\[ g_n(x) \uparrow f(x) \quad \quad \wedge \quad \quad h_n(x) \downarrow f(x) \quad \quad \forall \, x \in X \]
quando \( n \to + \infty \).
Dove con \( C_b(X) \) intendo l'insieme delle funzioni da $X$ in $\mathbb{R}$ continue e limitate mentre con \( \text{Lip}_b(X) \) intendo l'insieme delle funzioni da $X$ in $\mathbb{R}$ lipschitziane e limitate.
Non ho pensato granché a come si può dimostrare quindi, se fosse una cosa fattibile senza grandi idee, mi va bene anche un'indicazione su come procedere!
Risposte
Provato sul libro di Leoni sugli spazi di Sobolev?
Ciao gugo, ci ho appena dato un'occhiata ma non mi pare di aver trovato nulla in proposito!
In realtà sono un po' scemo. Ho io stesso proposto un esercizio la settimana scorsa che, con una lieve modifica, porta al risultato cercato in questo post. Se inizio così a 23 anni...
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