Applicazione Teorema Residui

[Dxerxes]

Salve ragazzi l'integrale in questione è:
$\int_{+delD} (sin(1/z)cos(1/(z-2)))/(z-5) dz$ dove $D={z in CC |z|<3}$

ovviamente la singolarità $z_0=5$ va esclusa...
Ed è qui che mi blocco...
Come dovrei continuare per applicare il teorema dei residui?
Devo considerare dove si annullano il seno e il coseno visto che il teorema dei residui non "chiede" i poli ma singolarità?

[Studente Anonimo]

$[z=0]$ e $[z=2]$ sono punti di singolarità essenziale interni al dominio. Per calcolare l'integrale bisognerebbe determinarne i due residui sviluppando in serie di Laurent, a mio parere, impresa proibitiva. Non vorrei che l'esercizio si limitasse a chiedere la formula generale:

$\int_\gammaf(z)dz=2\pii[Res[f(z),0]+Res[f(z),2]]$

[Dxerxes]

non credo voglia solo la formula generale ma il problema è che laurent non l'ho mai usato visto che non lo mette mai .
In questo caso, solo con laurent posso svolgerlo?
Per esempio con il residuo all'infinito non posso?

Inoltre, ma il seno e il coseno non vedo vedere la periodicità con cui si annullano?
Scusami del disturbo e delle probabili idiozie che ho scritto

[Studente Anonimo]

"Dxerxes":
... con il residuo all'infinito ...

Non hai tutti i torti, sono un po' arrugginito. Infatti:

$[z=1/w] ^^ [g(w)=f(1/w)] rarr Res[f(z),oo]=-Res[g(w)/w^2,0]$

Quindi:

$f(z)=1/(z-5)sin(1/z)cos(1/(z-2)) rarr$

$rarr g(w)=w/(1-5w)sinwcos(w/(1-2w)) rarr$

$rarr g(w)/w^2=1/(w(1-5w))sinwcos(w/(1-2w)) rarr$

$rarr lim_(w->0)g(w)/w^2=lim_(w->0)1/(w(1-5w))sinwcos(w/(1-2w))=1 rarr$

$rarr Res[g(w)/w^2,0]=0 rarr$

$rarr Res[f(z),oo]=0$

In definitiva:

$\int_\gammaf(z)dz=2\pii[Res[f(z),0]+Res[f(z),2]]=-2\piiRes[f(z),5]$

il cui calcolo, essendo $[z=5]$ un polo del 1° ordine, è senz'altro più agevole:

$Res[f(z),5]=lim_(z->5)(z-5)f(z)=lim_(z->5)sin(1/z)cos(1/(z-2))=sin(1/5)cos(1/3)$

"Dxerxes":
... ma il seno e il coseno ...

Non capisco perché ti preoccupi delle radici del seno e del coseno: mentre $[z=0]$ e $[z=2]$ sono singolarità essenziali, $[z=5]$ è un polo del 1° ordine proprio perché non è una radice del seno e del coseno:

$[sin(1/5) ne 0] ^^ [cos(1/3) ne 0]$

[Dxerxes]

hey innanzitutto ti ringrazio del tempo didicato
Però non ho capito il passaggio che ti fa arrivare a dire
$Res[g(w)/w^2 , 0] = 0$ non dovrebbe essere 1?

Dopo poi ho capito come procedi, hai utilizzato il teorema dei risidui e così via
Solo quel passaggio non ho capito ...

[Studente Anonimo]

Se $[lim_(w->0)g(w)/w^2=1]$, allora la funzione $[g(w)/w^2]$ non è singolare nell'origine. Ergo, il suo residuo nell'origine è zero.