Applicazione teorema di Cauchy-Goursat

[feddy]

Sia $Gamma={z in CC: |z|=R}, R>0$.
Calcolare $ oint_(Gamma) 1/zdz $.

Discutere le conseguenze quanto a:
(i)l'esistenza di una primitiva di $1/z$ su tutto $CC \setminus {0}$.
(ii)l'eventuale esistenza di un logaritmo complesso su $C \setminus {0}$.

Sol.:

Evidentemente $Gamma$ è una curva di Jordan (chiusa, $C^1$, e iniettiva). L'inghippo nel poter applicare G-C sta nel fatto che $Int(Gamma)$ non è contenuto in $A$, con $A={z \in CC: z!=0}$ dominio di $f(z)$. Cioè $A={(x,y) \in RR^2: (x,y) != (0,0)}$.

Allora, detta $gamma: [0,2pi] \rarr CC, t \mapsto Re^{it}$ la parametrizzazione del disco di raggio $R$, si ha che $ oint_(Gamma) 1/zdz =[it]_{0}^{2pi}=2 pi i$.

Per le altre due domande invece mi trovo parecchio in difficoltà:

(i) Se esistesse una primitiva di $1/z$ definita su tutto $CC \setminus {0}$, allora l'integrale sarebbe nullo, per il corollario del thm di C-G (?)

(ii) Se il log complesso esistesse su tutto $CC \setminus {0}$, allora applicando C-G avrei che l'integrale è nullo (?)

Sono bloccato, spero cheun vostro intervento possa illuminarmi

[javicemarpe]

Your solution is correct. The answer to question (1) is ok. To answer question (2) you just have to realise that, if $\log z$ is holomorphic, then its derivative equals to $1/z$, so it is a primitive of $1/z$ and question (1) proves this cannot happen.