Applicazione della convergenza dominata

[thedarkhero]

Sia $u\inL_{loc}^1(RR^n)$ una funzione che gode della seguente proprietà:
$u(x)=1/| \partial B(x,r)| \int_{\partial B(x,r)}u(y)ds(y)$, $AAr>0$ e $AAx\inRR^n$, dove $| \partial B(x,r)|$ è la misura del bordo della palla di centro $x$ e raggio $r$.
Vorrei far vedere che $u\inC(RR^n)$.
Come posso utilizzare la convergenza dominata per mostrare che la mappa $(x,r) \mapsto 1/| \partial B(x,r)| \int_{\partial B(x,r)}u(y)ds(y)$ è continua?

[gugo82]

Ma la $u$ non è armonica?

"A occhio", quella richiesta è una delle proprietà di media soddisfatte dalle funzioni armoniche; quindi dovresti riuscire a trovare una dimostrazione di questo fatto in qualsiasi testo che tratti di equazioni ellittiche/funzioni armoniche.

[thedarkhero]

Si, il risultato riguarda le funzioni armoniche.
Stavo riflettendo sul teorema di Koebe (Teorema 19 di questa dispensa).
Nelle ipotesi del teorema di richiede che $u$ sia continua e che soddisfi la proprietà del valore medio che ho descritto nel post precedente, la tesi è che $u$ è liscia e armonica.
Quello che cerco di mostrare è che indebolendo l'ipotesi di continuità di $u$ con l'ipotesi $u\inL_{text(loc)}^1$ si può sfruttare la proprietà del valore medio per mostrare che $u$ è continua e dedurre la stessa tesi del teorema di Koebe.

Ho provato a cercare nell'Evans ma non vi è alcun cenno alla possibilità di generalizzare il teorema come ho descritto.

[dissonance]

Non sono sicuro sia vero. In dimensione 1,quell'integrale si riduce a \[\frac12( u(x+r) +u(x-r)), \] e se u non è continua non vedo perché questa somma debba esserlo. Ma forse in dimensione superiore c'è un effetto regolarizzante, ora non saprei dirti in verità.

[gugo82]

Sì, dissonance, chiaro che per $n=1$ non va (è la prima cosa che ho pensato di controllare anch’io! ).
Tuttavia, proprio per questo viene in mente di controllare cosa succede se $n>=2$.

[dissonance]

Sicuramente ci sono problemi in tutte le dimensioni; un esempio facile è \(u(x)=\mathbf 1_{\{|x|\le 1\}}\), per cui la media sferica
\[
Mu(x, r):=\frac{1}{r^{n-1}|\mathbb S^{n-1}|} \int_{r\mathbb S^{n-1}} u(y)\, dS, \]
verifica
\[
Mu(0, r)=\begin{cases} 1, & r\le 1\\ 0, & r>1,\end{cases}
\]
quindi non è che \(Mu\) è continua sempre e comunque.

In ogni caso, condivido il tuo commento, se \(u(x)=Mu(x, r)\) per ogni \(x\) e ogni \(r\) allora \(u\) è una funzione armonica e quindi tutto diventa immediatamente smooth.

[thedarkhero]

La funzione $1_\{|x|<=1\}$ non soddisfa la proprietà del valore medio.

Il teorema di Koebe afferma che:
Se
$(1)$ $u$ è continua
$(2)$ $u(x)=1/|\partialB(x,r)| \int_{\partialB(x,t)}u(y)ds(y)$ per ogni $x\inRR^n$ e per ogni $r>0$
allora
$(3)$ $u$ è liscia
$(4)$ $u$ è armonica.

Quello che proponevo di fare è sostituire l'ipotesi $(1)$ con l'ipotesi
$(1^-)$ $u \in L_{loc}^1(RR^n)$
e di mostrare che $(1^-)$ insieme a $(2)$ implicano $(1)$.
Per fare questo una possibile idea potrebbe essere utilizzare la convergenza dominata per mostrare che se vale $(1^-)$ allora la mappa $(x,r) \mapsto 1/|\partialB(x,r)| \int_{\partialB(x,t)}u(y)ds(y)$ è continua, quindi per l'ipotesi $(2)$ è continua la mappa $x \mapsto u(x)$.
Non riesco però a capire come applicare la convergenza dominata in questo caso.

[dissonance]

E si, sai perché non riesci ad applicare la convergenza dominata? Il dominio di integrazione si muove con \(x\) e \(r\); per prima cosa, bisogna scrivere l'integrale come un integrale su \(\mathbb R^n\), ma ci spunta una delta di Dirac:
\[
\frac{1}{|\partial B(x, r)|}\int_{\mathbb R^n} \delta(|y-x|-1)u(y)\, dV(y).\]
E quindi addio convergenza dominata. Da qua non si passa.

---

Invece, dimostriamo che \((1^-)\) e \((2)\) implicano la proprietà di valor medio sulle palle solide; ovvero, che
\[
\tag{2^+} u(x)=\frac{1}{|B(x, r)|}\int_{B(x, r)} u(y)\, dy.\]
Infatti, assumendo \(x=0\) senza perdita di generalità,
\[
\frac{1}{|B(0, r)|}\int_{B(0, r)} u(y)\, dy=\frac{u(0)}{|B(0,r)|} \int_0^r |\partial B(0, \rho)|\, d\rho = u(0),\]
dove abbiamo usato \((1^-)\) nella prima identità, e \(\int_0^r |\partial B(0, \rho)|\, d\rho = |B(0, r)|\) nella seconda.

Adesso siamo sulle palle solide, e puoi applicare tutta la convergenza dominata che vuoi.

[thedarkhero]

Ok, le due formulazioni della proprietà del valore medio (sul bordo della palla o sulla palla solida) sono equivalenti.

Ma una volta riformulato il problema in termini di palle solide, come applico la convergenza dominata per ottenere la continuità della funzione $u$?

[dissonance]

Riscrivi l'integralecome un integrale su R^n e da là è evidente.

[thedarkhero]

Scriverei $1/|B(0,r)| \int_{RR^n} u(y)*1_{\{|x|

Cita

Segnala

[dissonance]

Il denominatore è chiaramente una funzione continua di r, quindi l'unico problema è l'integrale, ma è ovvio che la funzione integranda è dominata da una funzione integrabile. La funzione dominante è $|u(y) |1_B(y)$, dove B è una palla fissata e sufficientemente grande. Non so se mi spiego, sono da cellulare e scrivere qui è un castigo di Dio, come si dice a Bari.

[thedarkhero]

Per poter applicare la convergenza dominata dovrei avere una successione di funzioni.
Se la funzione dominante è $|u(y)|1_{B(y)}$ allora chi è la successione dominata?

[dissonance]

Una successione o una famiglia di funzioni. Qui hai una famiglia, dipendente dal parametro continuo $r$.

[thedarkhero]

Ok, quindi in questo caso (cioe' nel caso di una famiglia di funzioni) la condizione di convergenza puntuale $f_n->f$ come si traduce?
Cioe' a quale funzione tende la mia famiglia di funzioni?

[dissonance]

Guarda, sono cose proprio facili. Secondo me non ci stai pensando abbastanza. E' vero che il teorema della convergenza dominata si enuncia di solito per le successioni, ovvero per \(n \to \infty\), ma è uguale se si ha una famiglia di funzioni che dipende da un parametro \(r\in \mathbb R\) che tende a \(r_0\).

Altrimenti, come pensavi di applicarlo?

[otta96]

Ho letto solo alcuni dei primi messaggi, quindi non so cosa avete detto poi, ma oggi mi sono imbattuto in un esercizio che potrebbe interessare a OP, lo riporto testualmente per essere sicuro di non travisarne il significato:

We say that a locally integrable function $u$ defined in $RR^N$ is harmonious in $\Omega\subseteq RR^N$ if it satisfies $(2.4)$ for any ball $B_r(x)$ with $x\in\Omega$. Prove that, if $u$ is harmonious in $\Omega$, then
(i) $u$ is bounded on $\Omega$;
(ii) $u$ is locally Lipschitz continuous in $\Omega$;
(iii) $u\inC^\infty(\Omega)$ and all its derivatives are harmonious;
(iv) $u$ is analytic in $\Omega$, if it is bounded on $RR^N$.

Poi c'è anche un altro esercizio collegato che dice

Let $\Omega\subseteqRR^N$ be a connected open set and set $\Omega_r ={y + z : y\inOmega,|z|
P.S. Non chiedetemi come si fa perché non lo so e non ci ho neanche pensato.
EDIT: Mi ero dimenticato di dire che con $(2.4)$ lui intende la proprietà della media sulle sfere.

[gugo82]

“Harmonious”???

Harmonic, I guess.

[otta96]

No, è questo il bello, è proprio harmonoious functions