Applicabilità trasformata di Laplace
Ciao a tutti, in un esercizio di controlli automatici mi viene detto che: "il metodo della trasformata di Laplace nella risoluzione di equazioni differenziali lineari a parametri concentrati può essere usato solo nel caso di equazioni tempo invarianti" e quindi non, ad esempio, in nel caso di equazioni tempo varianti. Mi potreste spiegare perché? Non ho capito la fondamentalmente quale sia il motivo per cui viene specificato il "solo". Grazie
Risposte
Si capisce anche facendo un esempio molto semplice.
Il circuito A e' composto da un generatore di tensione variabile con $v(t) = H(0)$, la funzione di Heaviside, a cui sono collegati una resistenza $R = 1\ \Omega$ e un condensatore $C = 1\ F$ inizialmente scarico.
Risolvi e trova la tensione su $C$ con Laplace.
Poi un circuito B e' uguale al circuito A, ma con $R = (1+t)\ \Omega$.
Risolvi come prima con Laplace.
Il motivo che stai cercando diventa evidente.
Il circuito A e' composto da un generatore di tensione variabile con $v(t) = H(0)$, la funzione di Heaviside, a cui sono collegati una resistenza $R = 1\ \Omega$ e un condensatore $C = 1\ F$ inizialmente scarico.
Risolvi e trova la tensione su $C$ con Laplace.
Poi un circuito B e' uguale al circuito A, ma con $R = (1+t)\ \Omega$.
Risolvi come prima con Laplace.
Il motivo che stai cercando diventa evidente.
Partendo dalla legge delle tensioni:
$ v_c(t)=v_g(t)-v_r(t) $
Assumo la mia uscita $ y(t)=v_c(t) $ e il mio ingresso $ u(t)=v_(g) (t) $ .
Inoltre vale: $ v_r(t)=Ri(t) $ in cui $ i(t)=C (dv_c)/dt $
Per cui: $ y(t)=u(t)-RC(dy)/dt $
A questo punto trasformando e tenuto conto delle condizioni iniziali:
$ RC[s\cdot y(s)+y(s)]=1/s $
Da cui: $ y(s)=1/(s[RCs+1]) $ che, antitrasformata col teorema dei residui porta alla soluzione $ y(t)=RC(1-e^(-t/(RC))) $ anche se qui c'è qualcosa che non torna dimensionalmente; sicuramente mi sfugge qualcosa nell'applicare il teorema dei residui.
Nel caso di resistenza variabile, seguendo gli stessi passaggi:
$ y(t)=u(t)-(1+t)C(dy)/(dt) $
Nel trasformare però sono fermo a questo punto, nel senso che non so come trattare la variabile tempo t perché ho questa variabile sia esplicita, che implicita (all'interno della variabile principale $ y $).
Dunque non capisco
$ v_c(t)=v_g(t)-v_r(t) $
Assumo la mia uscita $ y(t)=v_c(t) $ e il mio ingresso $ u(t)=v_(g) (t) $ .
Inoltre vale: $ v_r(t)=Ri(t) $ in cui $ i(t)=C (dv_c)/dt $
Per cui: $ y(t)=u(t)-RC(dy)/dt $
A questo punto trasformando e tenuto conto delle condizioni iniziali:
$ RC[s\cdot y(s)+y(s)]=1/s $
Da cui: $ y(s)=1/(s[RCs+1]) $ che, antitrasformata col teorema dei residui porta alla soluzione $ y(t)=RC(1-e^(-t/(RC))) $ anche se qui c'è qualcosa che non torna dimensionalmente; sicuramente mi sfugge qualcosa nell'applicare il teorema dei residui.
Nel caso di resistenza variabile, seguendo gli stessi passaggi:
$ y(t)=u(t)-(1+t)C(dy)/(dt) $
Nel trasformare però sono fermo a questo punto, nel senso che non so come trattare la variabile tempo t perché ho questa variabile sia esplicita, che implicita (all'interno della variabile principale $ y $).
Dunque non capisco
"Mynameis":
Nel trasformare però sono fermo a questo punto, nel senso che non so come trattare la variabile tempo t perché ho questa variabile sia esplicita, che implicita (all'interno della variabile principale $ y $).
Dunque non capisco
Ecco perfetto. quindi non puoi usare la trasformata di Laplace, se i parametri del circuito o del sistema sono variano nel tempo.
Volevo arrivare li.
Scusa l'enorme ritardo. Comunque grazie mille della spiegazione. Ho incontrato un esercizio simile e mi sono ricordato della discussione. Grazie ancora
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