Appartenenza a spazio di Sobolev $H^k(R)$ di una distribuzione derivata
Buondì, la domanda è di carattere teorico, ma la presento tramite l'esercizio che me l'ha fatta sorgere.
Ho $u, u', u''$ e voglio verificare se $u in H^1(R), u' in H^1(R)$
Per farlo mi assicuro che le derivate di ordine $ <=1$ di $u,u'$ appartengano a $L^2(R)$.
La domanda sorge quando devo verificare l'appartenenza di $u'$:
- devo trattarla come derivata di $u$, e dunque verificare che essa stessa appartenga a $L^2(R)$ poiché sto lavorando con l'ordine di derivazione? E dunque posso concludere che $u' !in H^1(R)$ poiché la sua derivata prima (cioè $u''$) è di ordine superiore rispetto alle derivate considerate dallo spazio di Sobolev?
OPPURE
- considero $v=u' -> v'=u''$ e verifico che $v' in L^2(R)$ come se $v$ fosse una nuova distribuzione "base" (cioè non la derivata di un'altra), e dunque effettivamente $v'$ è di primo ordine (anche se "maschera" una derivata seconda), e la sua appartenenza a $H^1(R)$ deve essere verificata coi conti?
Grazie
Ho $u, u', u''$ e voglio verificare se $u in H^1(R), u' in H^1(R)$
Per farlo mi assicuro che le derivate di ordine $ <=1$ di $u,u'$ appartengano a $L^2(R)$.
La domanda sorge quando devo verificare l'appartenenza di $u'$:
- devo trattarla come derivata di $u$, e dunque verificare che essa stessa appartenga a $L^2(R)$ poiché sto lavorando con l'ordine di derivazione? E dunque posso concludere che $u' !in H^1(R)$ poiché la sua derivata prima (cioè $u''$) è di ordine superiore rispetto alle derivate considerate dallo spazio di Sobolev?
OPPURE
- considero $v=u' -> v'=u''$ e verifico che $v' in L^2(R)$ come se $v$ fosse una nuova distribuzione "base" (cioè non la derivata di un'altra), e dunque effettivamente $v'$ è di primo ordine (anche se "maschera" una derivata seconda), e la sua appartenenza a $H^1(R)$ deve essere verificata coi conti?
Grazie
Risposte
Diresti mai che la derivata dell'arcotangente non è $C^1$?
Qui è la stessa cosa.
Qui è la stessa cosa.
Sono d'accordo con otta: qua c'è da fare esempi, non costruzioni mentali complicate e che si dimenticheranno in un niente. Mi ricordo il corso di PDE di Alberto Ruiz, un bravo professore e una brava persona, che seguii a Madrid durante i miei studi di master. Alberto spiegò gli spazi di Sobolev e poi disse: "vi consiglio, quando siete sulla metro, prendete un taccuino, inventatevi una funzione e stabilite a quali spazi di Sobolev appartiene". Siccome mi stava molto simpatico lo presi alla lettera e me ne andavo girando per Madrid calcolando derivate e integrali. 
In conclusione: prendi la funzione, calcola le derivate che ti servono (stando attento, se ci sono singolarità, che non si ficchi qualche delta di Dirac tra i conti) e poi stabilisci se gli integrali impropri che appaiono calcolando la norma L2 sono convergenti. Se sono convergenti, allora sei nello spazio di Sobolev. Altrimenti no.
In conclusione: prendi la funzione, calcola le derivate che ti servono (stando attento, se ci sono singolarità, che non si ficchi qualche delta di Dirac tra i conti) e poi stabilisci se gli integrali impropri che appaiono calcolando la norma L2 sono convergenti. Se sono convergenti, allora sei nello spazio di Sobolev. Altrimenti no.
Chiaro. Grazie ad entrambi.
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