Appartenenza a spazi vari dalla serie di Fourier
Buondì, ho qui un esercizio che mi sta creando qualche problema.
Siano $f, g, h$ funzioni definite su $[0,2pi]$le cui serie di Fourier sono date da:
$f(x): sum_(n=1)^(oo)1/sqrtnsin(nx) ;$
$ g(x): sum_(n=1)^(oo)1/(n^2+1)cos(nx)+1/n^4sin(nx) ;$
$ h(x): sum_(n=1)^(oo)1/2^n cos(nx)$
Mi viene chiesto di valutare con meno conti possibili l'appartenenza delle funzioni originali a $L^2, C^k$ e la loro convergenza uniforme a $f, g,h$. Non so bene "dove" cercare le risposte in una serie di Fourier.
Mi pare che la serie di Fourier di una $f in L^2$ sia scritta come combinazione lineare dei vettori di base del sistema ortonormale trigonometrico, ma non so come dimostrare che le tre forme di cui sopra rispettino o meno il requisito.
Grazie
Siano $f, g, h$ funzioni definite su $[0,2pi]$le cui serie di Fourier sono date da:
$f(x): sum_(n=1)^(oo)1/sqrtnsin(nx) ;$
$ g(x): sum_(n=1)^(oo)1/(n^2+1)cos(nx)+1/n^4sin(nx) ;$
$ h(x): sum_(n=1)^(oo)1/2^n cos(nx)$
Mi viene chiesto di valutare con meno conti possibili l'appartenenza delle funzioni originali a $L^2, C^k$ e la loro convergenza uniforme a $f, g,h$. Non so bene "dove" cercare le risposte in una serie di Fourier.
Mi pare che la serie di Fourier di una $f in L^2$ sia scritta come combinazione lineare dei vettori di base del sistema ortonormale trigonometrico, ma non so come dimostrare che le tre forme di cui sopra rispettino o meno il requisito.
Grazie
Risposte
Puoi cominciare dall'identità di Parseval. Inoltre la "velocità" con cui i coefficienti della serie di Fourier vanno a \(0\) è legata alla regolarità di \(f\); come?
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