Antitrasformata di Laplace

[CosimoHeat]

Salve, non so se è il posto giusto per esprimere questo dubbio ma io ci provo:

Ho questa funzione da antitrasformare:
\(-\frac{6s + 6}{(18s^2 + 23s + 10)s}
\)

Una volta scomposta in fratti semplici e trovato i coefficienti:
\( -\frac{6s + 6}{(18s^2 + 23s + 10)s} = \frac{-\frac{3}{5}}{s} + \frac{\frac{54}{5}s + \frac{39}{5}}{18s^2 + 23s + 10}
\)

E' sufficiente scrivere l'antitrasformata come:
$f(t) = -3/5 + e^(-0,639t) (54/9 cos(0,384t) + 39/5 sin(0,384t))$

Dove
$-0,639$
è la parte reale del polo complesso e coniugato e
$0,384$
la parte immaginaria

Oppure per arrivare alla soluzione finale devo fare qualche altro passaggio intermedio?

Grazie in anticipo

[pilloeffe]

Ciao CosimoCutri,

I numeri che compaiono nella funzione $F(s) $ da antitrasformare mi sembrano un pò strani, ma se sono quelli a me risulta la funzione seguente:

$f(t) = -3/5 + e^{-23/36 t} [3/5 cos(\sqrt(191)/36 t) + 9/(5 \sqrt(191)) sin(\sqrt(191)/36 t)] $

[CosimoHeat]

"pilloeffe":Ciao CosimoCutri,

I numeri che compaiono nella funzione $F(s) $ da antitrasformare mi sembrano un pò strani, ma se sono quelli a me risulta la funzione seguente:

$f(t) = -3/5 + e^{-23/36 t} [3/5 cos(\sqrt(191)/36 t) + 9/(5 \sqrt(191)) sin(\sqrt(191)/36 t)] $

Grazie per la risposta,
La funzione F(s) è una soluzione di un circuito dinamico del 2 ordine nel dominio di laplace, dovrebbe essere corretta.
Ti posso chiedere come fai a ricavare i coefficienti da mettere davanti al seno e al coseno?

[pilloeffe]

"CosimoCutri":Ti posso chiedere come fai a ricavare i coefficienti da mettere davanti al seno e al coseno?

Certamente. Per poter fare uso delle classiche tabelle della trasformata di Laplace che puoi trovare ad esempio qui o meglio ancora nella versione inglese qui, è necessario scomporre il denominatore nella somma di quadrati:

$18s^2 + 23s + 10 = 18(s + 23/36)^2 + 191/72 = 18[(s + 23/36)^2 + 191/1296] = $

$ = 18[(s + 23/36)^2 + (\sqrt{191}/36)^2] $

[CosimoHeat]

"pilloeffe":[quote="CosimoCutri"]Ti posso chiedere come fai a ricavare i coefficienti da mettere davanti al seno e al coseno?

Certamente. Per poter fare uso delle classiche tabelle della trasformata di Laplace che puoi trovare ad esempio qui o meglio ancora nella versione inglese qui, è necessario scomporre il denominatore nella somma di quadrati:

$18s^2 + 23s + 10 = 18(s + 23/36)^2 + 191/72 = 18[(s + 23/36)^2 + 191/1296] = $

$ = 18[(s + 23/36)^2 + (\sqrt{191}/36)^2] $[/quote]


Perfetto, grazie mille
Quindi se ho capito bene i coefficienti per cui moltiplicare il seno e il coseno si troveranno cosi:

$18A * (s+23/36) + 18B*(sqrt(191)/36)= -54/5s - 39/5 $

da cui

$A = 1/18 * -54/5 = -3/5$

$B = (-39/5 - (23/2 * -3/5 )) * 2/sqrt(191) = -9/(5sqrt(191))$

Corretto?
Grazie ancora per le delucidazioni.

[pilloeffe]

"CosimoCutri":Corretto?

Direi di no...

Sono state usate le trasformate e di conseguenza le antitrasformate di Laplace seguenti:

$\mathcal{L}[e^{\beta t} sin(\alpha t)] = \alpha/((s - \beta)^2 + \alpha^2) \implies \mathcal{L}^{-1}[\alpha/((s - \beta)^2 + \alpha^2)] = e^{\beta t} sin(\alpha t) $

$\mathcal{L}[e^{\beta t} cos(\alpha t)] = (s - \beta)/((s - \beta)^2 + \alpha^2) \implies \mathcal{L}^{-1}[(s - \beta)/((s - \beta)^2 + \alpha^2)] = e^{\beta t} cos(\alpha t) $

Quindi ci dobbiamo ricondurre a queste e si ha:

$F(s) = -\frac{6s + 6}{(18s^2 + 23s + 10)s} = \frac{-\frac{3}{5}}{s} + \frac{\frac{54}{5}s + \frac{39}{5}}{18s^2 + 23s + 10} = $

$ = \frac{-\frac{3}{5}}{s} + \frac{\frac{54}{5}s + \frac{39}{5}}{18[(s + 23/36)^2 + (\sqrt{191}/36)^2]} = \frac{-\frac{3}{5}}{s} + \frac{\frac{3}{5}s + \frac{13}{30}}{(s + 23/36)^2 + (\sqrt{191}/36)^2} = $

$ = \frac{-\frac{3}{5}}{s} + \frac{\frac{3}{5}s + 23/36 \cdot 3/5 - 23/36 \cdot 3/5 + \frac{13}{30}}{(s + 23/36)^2 + (\sqrt{191}/36)^2} = \frac{-\frac{3}{5}}{s} + \frac{\frac{3}{5}s + 23/36 \cdot 3/5 - 23/60 + \frac{13}{30}}{(s + 23/36)^2 + (\sqrt{191}/36)^2} = $

$ = \frac{-\frac{3}{5}}{s} + \frac{3}{5} \cdot \frac{s + 23/36}{(s + 23/36)^2 + (\sqrt{191}/36)^2} + \frac{13/30 - 23/60}{(s + 23/36)^2 + (\sqrt{191}/36)^2} = $

$ = \frac{-\frac{3}{5}}{s} + \frac{3}{5} \cdot \frac{s + 23/36}{(s + 23/36)^2 + (\sqrt{191}/36)^2} + 1/20 \cdot \frac{1}{(s + 23/36)^2 + (\sqrt{191}/36)^2} = $

$ = \frac{-\frac{3}{5}}{s} + \frac{3}{5} \cdot \frac{s + 23/36}{(s + 23/36)^2 + (\sqrt{191}/36)^2} + 1/20 \cdot 36/\sqrt{191} \cdot \frac{\sqrt{191}/36}{(s + 23/36)^2 + (\sqrt{191}/36)^2} = $

$ = \frac{-\frac{3}{5}}{s} + \frac{3}{5} \cdot \frac{s + 23/36}{(s + 23/36)^2 + (\sqrt{191}/36)^2} + 9/(5\sqrt{191}) \cdot \frac{\sqrt{191}/36}{(s + 23/36)^2 + (\sqrt{191}/36)^2} $

Ti chiederei la cortesia di non rispondere ai post col pulsante "CITA, ma col pulsante RISPONDI che trovi in fondo alla pagina. Questo perché raramente è necessario citare tutto il messaggio di chi ti ha risposto ed anzi così facendo si appesantisce inutilmente la lettura del thread. Comunque tranquillo, all'inizio della frequentazione del forum ci siamo cascati tutti, sottoscritto incluso...

[CosimoHeat]

Perfetto, chiarissimo.
Da adesso in poi allora risponderò tramite il pulsante RISPONDI.
Grazie ancora della disponibilità .