Antitrasformata di Laplace

[Allee1]

Salve vi scrivo per dei chiarimenti riguardanti il seguente esercizio:
Dunque l'esercizio si divide in due parti, nella prima si richiede di calcolare la trasformata di Laplace della soluzione del problema di Cauchy
$ { ( u''-u=e^tchi _([0;1])(t) rArr t>=0),( u(0)=0),( u'(0)=1 ):} $
Se ho effettuato correttamente i calcoli il risultato dovrebbe essere
$ \mathcal(L) (z)= (e^(1-z)-z)/((1-z)(z^2-1)) $
A questo punto la seconda parte dell'esercizio richiede di scrivere l'espressione di u
Quindi procedo nell'antitrasformare la funzione ottenuta, per farlo procedo nella scomposizione in fratti semplici, ma poichè tale passaggio è possibile solo se la funzione in questione è una funzione polinomiale fratta utilizzo la proprietà della trasformata di Laplace per la quale $ \mathcal(L) [e^(ct)f(t)](z)= \mathcal(L) [f](z-c) $ in questo modo passo ad antitrasformare la funzione $ 1/((1-z)(z^2-1))-z/((1-z)(z^2-1)) $
Procedendo, per la prima frazione ottengo la scomposizione
$ 1/((1-z)(z^2-1))=A/(1-z)+B/(z-1)+C/(z+1) $
Per ottenere le varie costanti calcolo il residuo della funzione da antitrasformare ovvero
$ A=Res(f,1)=lim_(z -> 1) (z-1)*1/((1-z)(z-1)(z+1)) $

Ma in questo modo non otterrei un risultato finito. Ho sbagliato qualcosa nei calcoli o nel ragionamento? Vi ringrazio anticipatamente per le eventuali risposte.

[anonymous_0b37e9]

"Allee":
Se ho effettuato correttamente i calcoli ...

Concordo:

$U(s)=(s-e^(-s+1))/((s+1)(s-1)^2)$

"Allee":
Ma in questo modo non otterrei un risultato finito ...

Non ti sei accorto che $[s=1]$ è un polo del 2° ordine:

$1/((1-s)(s^2-1))=(-1)/((s-1)^2(s+1))=A/(s-1)+B/(s-1)^2+C/(s+1)$

Per determinare $A$ mediante il residuo, è necessario derivare.

[Allee1]

Grazie infinite per la correzione!
Dunque calcolando le costanti
$ A=Res(f,1)=lim_(z -> 1) 1/(z+1)^2=1/4 $
$ B=Res(f,1)=lim_(z -> 1) -1/(z+1)=-1/2 $
$ C=Res(f,-1)=lim_(z -> -1) -1/(z-1)^2=-1/4 $
Sostituendo
$ 1/(4(z-1))-1/(2(z-1)^2)-1/(4(z+1)) $
Antitrasformando
$ 1/4e^t-1/2e^t t-1/4e^(-t) $
Per la proprietà riportata in precedenza valuto l'antitrasformata ottenuta nel punto $ (t+1) $ da cui
$u_1(t)= -1/4e^2e^t-1/2e^2e^t t-1/4e^(-t) $
In modo analogo per
$ z/((z-1)^2(z+1)) $
antitrasformando
$ u_2(t)=1/4e^t+1/2e^t t-1/4e^(-t) $
Ottenendo quindi la soluzione del problema
$ u(t)=u_1(t)+u_2(t) $
È corretto questo modo di procedere?

[anonymous_0b37e9]

Solo in parte. A me risulta:

$U(s)=(s-e^(-s+1))/((s+1)(s-1)^2)=s/((s+1)(s-1)^2)-e^(-s+1)/((s+1)(s-1)^2)=$

$=-1/4*1/(s+1)+1/2*1/(s-1)^2+1/4*1/(s-1)-e^(-s+1)*[1/4*1/(s+1)+1/2*1/(s-1)^2-1/4*1/(s-1)]$

$=-1/4*1/(s+1)+1/2*1/(s-1)^2+1/4*1/(s-1)-e/4*e^(-s)/(s+1)-e/2*e^(-s)/(s-1)^2+e/4*e^(-s)/(s-1)$

Antitrasformando:

$u(t)=-1/4e^(-t)+1/2te^t+1/4e^t-e/4\theta(t-1)e^(-t+1)-e/2\theta(t-1)(t-1)e^(t-1)+e/4\theta(t-1)e^(t-1)$

In definitiva:

1. $[0 lt t lt 1]$

$u(t)=-1/4e^(-t)+1/2te^t+1/4e^t$

2. $[t gt 1]$

$u(t)=-1/4e^(-t)+1/2te^t+1/4e^t-e/4e^(-t+1)-e/2(t-1)e^(t-1)+e/4e^(t-1)=-(e^2+1)/4e^(-t)+e^t$

Tra l'altro, ho fatto una verifica esplicita. Dato che il secondo membro dell'equazione differenziale non è continuo per $[t=1]$, si tratta di una soluzione continua ma non derivabile (la soluzione presenta un punto angoloso) per $[t=1$].

[Allee1]

Grazie ancora per la risposta, e scusa se continuo a disturbarti ma avrei ancora un dubbio. Non mi è chiaro un passaggio nella seconda parte del calcolo dell'antitrasformata, cioè dove si utilizza la proprietà
$ \mathcal(L) [e^(ct)f(t)](z)= \mathcal(L)[f](z-c) $
Perchè nel caso in esame consideri il punto $ (t-1) $ ? In questo caso non dovrebbe essere $ c=-1 $ e dunque considerare il punto $ (t+1) $ ?

[anonymous_0b37e9]

Premesso che, se $[f(t) rarr F(s)]$ allora $[f(t-a)\theta(t-a) rarr e^(-as)F(s)]$, si ha:

1. Se:

$[f(t)=e^(-t)] rarr [F(s)=1/(s+1)] ^^ [a=1]$

allora:

$[f(t-1)\theta(t-1)=e^(-t+1)\theta(t-1)] rarr [e^(-s)F(s)=e^(-s)/(s+1)]$

2. Se:

$[f(t)=e^t] rarr [F(s)=1/(s-1)] ^^ [a=1]$

allora:

$[f(t-1)\theta(t-1)=e^(t-1)\theta(t-1)] rarr [e^(-s)F(s)=e^(-s)/(s-1)]$

3. Se:

$[f(t)=te^t] rarr [F(s)=1/(s-1)^2] ^^ [a=1]$

allora:

$[f(t-1)\theta(t-1)=(t-1)e^(t-1)\theta(t-1)] rarr [e^(-s)F(s)=e^(-s)/(s-1)^2]$

"Allee":
... dove si utilizza la proprietà $\mathcal(L)[e^(ct)f(t)](z)=\mathcal(L)[f](z-c)$ ...

Se non si vuole calcolare l'integrale esplicitamente, per determinare la seguente trasformata:

$[f(t)=te^t] rarr [F(s)=1/(s-1)^2]$

Ad ogni modo, se non vuoi perderti, è necessario prestare la massima attenzione.