Antitrasformata di Fourier
Ciao avrei bisogno di aiuto per questo esercizio.
Si determini la funzione f tale che la funzione:
$ hat(f(k)) = e^(ik\cdot y)/((2pi)^(3/2)|k|^2) $
è la sua trasformata, dove $ k in R^3, y in R^3 $ .
Da quello che ho capito bisognerebbe usare la trasformata di Fourier di una distribuzione e la proprietà che:
$ = $
quindi parto dicendo che: $ int dk hat (f(k)) phi(k) = int dk hatf(k) *1/(2pi)^(3/2)intdx e^(ik*x)hat(phi(x)) $
da qui dovrei risolvere fino ad arrivare a una cosa della forma $ int dx f(x)hat(phi(x)) $ da cui ho f per la proprietà che ho detto all'inzio.
Vorrei intanto sapere se quello che ho scritto è giusto oppure non ho capito niente e in caso sia giusto mi servirebbe una mano nella risoluzione dell'esercizio.
Grazie.
Si determini la funzione f tale che la funzione:
$ hat(f(k)) = e^(ik\cdot y)/((2pi)^(3/2)|k|^2) $
è la sua trasformata, dove $ k in R^3, y in R^3 $ .
Da quello che ho capito bisognerebbe usare la trasformata di Fourier di una distribuzione e la proprietà che:
$
quindi parto dicendo che: $ int dk hat (f(k)) phi(k) = int dk hatf(k) *1/(2pi)^(3/2)intdx e^(ik*x)hat(phi(x)) $
da qui dovrei risolvere fino ad arrivare a una cosa della forma $ int dx f(x)hat(phi(x)) $ da cui ho f per la proprietà che ho detto all'inzio.
Vorrei intanto sapere se quello che ho scritto è giusto oppure non ho capito niente e in caso sia giusto mi servirebbe una mano nella risoluzione dell'esercizio.
Grazie.
Risposte
Alla fine sono riuscito a fare questo.
Sono partito dicendo che:
$ int dk e^(ik*y)/((2pi)^(3/2)*|k|^2)*phi(k)=intdke^(ik*y)/((2pi)^(3/2)*|k|^2)*1/(2pi)^(3/2)intdxe^(ik*x)hat(phi(x)) $
Partendo da qui ho svolto in questo modo:
$ lim_(R -> oo )int_(|k|
Ho applicato il cambio di variabile $ eta =cos (theta) $ :
$ = lim_(R ->oo) 1/(2pi)^2 int dx hat(phi(x)) int_(0)^(R) dk (e^(i|k||x+y|)-e^(-i|k||x+y|))/(i|k||x+y|) $
$ = lim_(R ->oo) 1/(2pi)^2 int dx hat(phi(x))/|x+y| int_(0)^(R) dk (2isen(|k||x+y|))/(i|k|) $
$ = lim_(R ->oo) 1/(2pi^2) int dx hat(phi(x))/|x+y| int_(0)^(R) dk (sen(|k||x+y|))/(|k|) $
Ho fatto un altro cambio di variabile con $ t=|k||x+y| $:
$ = lim_(R ->oo) 1/(2pi^2) int dx hat(phi(x))/|x+y| int_(0)^(R|x+y|) dt (sen(t))/t $
$ = 1/(2pi^2) int dx hat(phi(x))/|x+y| * pi/2 $
$ = 1/(4pi) int dx (1)/|x+y|*hat(phi(x)) = $
E quindi dovrebbe essere:
$ f=1/(4pi|x+y|) $
Ora non penso che sia tutto sbagliato ma sicuramente c'è qualcosa che non va dato che ho il risultato e mi deve venire $ f=1/(4pi|x-y|) $ , quindi mi servirebbe una mano a trovare dove ho sbagliato.
Grazie.
Sono partito dicendo che:
$ int dk e^(ik*y)/((2pi)^(3/2)*|k|^2)*phi(k)=intdke^(ik*y)/((2pi)^(3/2)*|k|^2)*1/(2pi)^(3/2)intdxe^(ik*x)hat(phi(x)) $
Partendo da qui ho svolto in questo modo:
$ lim_(R -> oo )int_(|k|
Ho applicato il cambio di variabile $ eta =cos (theta) $ :
$ = lim_(R ->oo) 1/(2pi)^2 int dx hat(phi(x)) int_(0)^(R) dk (e^(i|k||x+y|)-e^(-i|k||x+y|))/(i|k||x+y|) $
$ = lim_(R ->oo) 1/(2pi)^2 int dx hat(phi(x))/|x+y| int_(0)^(R) dk (2isen(|k||x+y|))/(i|k|) $
$ = lim_(R ->oo) 1/(2pi^2) int dx hat(phi(x))/|x+y| int_(0)^(R) dk (sen(|k||x+y|))/(|k|) $
Ho fatto un altro cambio di variabile con $ t=|k||x+y| $:
$ = lim_(R ->oo) 1/(2pi^2) int dx hat(phi(x))/|x+y| int_(0)^(R|x+y|) dt (sen(t))/t $
$ = 1/(2pi^2) int dx hat(phi(x))/|x+y| * pi/2 $
$ = 1/(4pi) int dx (1)/|x+y|*hat(phi(x)) =
E quindi dovrebbe essere:
$ f=1/(4pi|x+y|) $
Ora non penso che sia tutto sbagliato ma sicuramente c'è qualcosa che non va dato che ho il risultato e mi deve venire $ f=1/(4pi|x-y|) $ , quindi mi servirebbe una mano a trovare dove ho sbagliato.
Grazie.
Ciao Poski,
Beh, direi proprio all'inizio:
$ \phi(k) = 1/(2pi)^(3/2) \int e^(- ik x) \hat(phi(x)) \text{d}x $
Beh, direi proprio all'inizio:
$ \phi(k) = 1/(2pi)^(3/2) \int e^(- ik x) \hat(phi(x)) \text{d}x $
Il mio problema era proprio li infatti.
Se non sbaglio ci sono queste due formule:
$ hat(f(k))= 1/sqrt(2pi) int dx e^(-ikx)f(x) $
$ f(k)= 1/sqrt(2pi) int dx e^(ikx)hat(f(x)) $
Non devo usare la seconda in questo caso?
Se non sbaglio ci sono queste due formule:
$ hat(f(k))= 1/sqrt(2pi) int dx e^(-ikx)f(x) $
$ f(k)= 1/sqrt(2pi) int dx e^(ikx)hat(f(x)) $
Non devo usare la seconda in questo caso?
Ma $\phi(k) $ non è una trasformata di Fourier?
Io la trasformata di Fourier l'ho sempre vista col segno $ - $ all'esponente, l'antitrasformata col segno $+$
Io la trasformata di Fourier l'ho sempre vista col segno $ - $ all'esponente, l'antitrasformata col segno $+$
In teoria $ hat(phi(k)) $ dovrebbe essere la trasformata.
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