Analisi dei segnali (sistema causale)
Salve a tutti, una domanda
sapendo che:
- un sistema è causale se l'uscita non dipende da valori dell'ingresso per istanti futuri
- se io do all'ingresso di un sistema causale un segnale causale ottengo un'uscita causale
analizzando un sistema a tempo discreto del tipo:
y[n]=1+x[n-1]
questo sistema sembra proprio essere causale, ma se io do all'ingresso un segnale causale come la successione unitaria u[n] che per l'appunto è nulla per n<0, ottengo comunque un'uscita pari ad 1 per n<0, quindi l'uscita non è causale.
Come mai?
sapendo che:
- un sistema è causale se l'uscita non dipende da valori dell'ingresso per istanti futuri
- se io do all'ingresso di un sistema causale un segnale causale ottengo un'uscita causale
analizzando un sistema a tempo discreto del tipo:
y[n]=1+x[n-1]
questo sistema sembra proprio essere causale, ma se io do all'ingresso un segnale causale come la successione unitaria u[n] che per l'appunto è nulla per n<0, ottengo comunque un'uscita pari ad 1 per n<0, quindi l'uscita non è causale.
Come mai?
Risposte
In realtà quel "1" che trovi per tutti gli n<0 è dovuto alla risposta del sistema, e non al segnale in ingresso (in questo caso $u[n]$), per cui il sistema è in effetti causale.
Grazie mille per la risposta, un'ultima domanda.
Mi potresti gentilmente scrivere o linkare la dimostrazione che spiega perché:
Un sistema LTI è causale se e solo se h[n] è nulla per n<0
Mi potresti gentilmente scrivere o linkare la dimostrazione che spiega perché:
Un sistema LTI è causale se e solo se h[n] è nulla per n<0
In realtà la dimostrazione è piuttosto semplice (te la sintetizzo in maniera poco rigorosa, tanto per capirci).
La sufficienza è immediata, poichè essendo $h[n]=0$ per $n<0$ vale:
$ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k]= \sum_{k=-\infty}^{n} x[k]h[n-k]$
Per dimostrare la c.n. puoi ragionare per assurdo: Se infatti esistesse un $-m$ tale per cui $h[m]\ne 0$, avresti che:
$ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k]= \sum_{k=-\infty}^{n} x[k]h[n-k] + x[n+m]h[m]$
Per cui il sistema non sarebbe causale.
Comunque la puoi trovare su un qualsiasi libro di teoria dei segnali, ti consiglio ad esempio il Luise-Vitetta
La sufficienza è immediata, poichè essendo $h[n]=0$ per $n<0$ vale:
$ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k]= \sum_{k=-\infty}^{n} x[k]h[n-k]$
Per dimostrare la c.n. puoi ragionare per assurdo: Se infatti esistesse un $-m$ tale per cui $h[m]\ne 0$, avresti che:
$ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k]= \sum_{k=-\infty}^{n} x[k]h[n-k] + x[n+m]h[m]$
Per cui il sistema non sarebbe causale.
Comunque la puoi trovare su un qualsiasi libro di teoria dei segnali, ti consiglio ad esempio il Luise-Vitetta
Grazie ancora, ultimissima domanda ahah
Quindi quando ho scritto nel primo post che:
"- se io do all'ingresso di un sistema causale un segnale causale ottengo un'uscita causale"
Questo è valido solo per i sistemi LTI giusto?
Quindi quando ho scritto nel primo post che:
"- se io do all'ingresso di un sistema causale un segnale causale ottengo un'uscita causale"
Questo è valido solo per i sistemi LTI giusto?
up!
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