Analisi complessa, domanda su singolarità
Ciao ragazzi,
Vorrei un chiarimento riguardo le singolarità.
Prima di tutto, se una singolarità annulla sia il numeratore che il denominatore, posso direttamente dire che è eliminabile?
Io per vedere di che tipo di singolarità si tratta, svolgo il limite di lf(z)l per z che tende alla singolarità.. se il valore è finito ho una singolarità eliminabile.. però volevo sapere se posso ragionare anche così.
Inoltre, è valida la relazione che se z0 è polo di ordine m per 1/f allora è polo di ordine m anche per f? Posso, dunque, invertire la funzione quando calcolo le singolarità?
Grazie
Vorrei un chiarimento riguardo le singolarità.
Prima di tutto, se una singolarità annulla sia il numeratore che il denominatore, posso direttamente dire che è eliminabile?
Io per vedere di che tipo di singolarità si tratta, svolgo il limite di lf(z)l per z che tende alla singolarità.. se il valore è finito ho una singolarità eliminabile.. però volevo sapere se posso ragionare anche così.
Inoltre, è valida la relazione che se z0 è polo di ordine m per 1/f allora è polo di ordine m anche per f? Posso, dunque, invertire la funzione quando calcolo le singolarità?
Grazie
Risposte
Le risposte sono no e no.
Infatti, ad esempio, le due funzioni $f(z)=z$ e $g(z)=z^2$ si annullano entrambe in $0$, ma la funzione $(f(z))/(g(z))$ ha un polo di ordine $1$ in $0$.
Inoltre, la funzione $h(z)=1/z$ ha un polo del primo ordine in $0$ e però la funzione $1/(h(z))=z$ non è singolare in $0$.
Come vedi, produrre controesempi alle tue congetture è molto facile e potevi pure arrivarci da solo.
Tuttavia qualcosa del tipo che avevi in mente si può dire... Ad esempio vale il seguente fatto:
Quindi ad esempio, la funzione:
\[
\frac{z(\mathbf{e}^z - 1)(z-\pi)^4}{\sin^2 z}
\]
ha:
[list=1][*:2pg6dd42]in $z_0=0$ una singolarità eliminabile che non è uno zero[nota]Difatti, per limiti notevoli, risulta:
\[
\lim_{z\to 0} \frac{z(\mathbf{e}^z -1)(z-\pi)^4}{\sin^2 z} = \pi^4\; .
\][/nota], perché $z_0$ è uno zero d'ordine $n=2$ per il numeratore e d'ordine $m=2$ per il denominatore,
[/*:m:2pg6dd42]
[*:2pg6dd42] in $z_1=\pi$ uno zero d'ordine $2$, perché $z_1$ è uno zero d'ordine $n=4$ per il numeratore e di ordine $m=2$ per il denominatore,
[/*:m:2pg6dd42]
[*:2pg6dd42] nei punti $z_k= k\pi$ con $k\in \ZZ\setminus \{0,1\}$ ha poli doppi, perché ogni $z_k$ è uno zero d'ordine $m=2$ per il denominatore ma di ordine $n=0$ (cioè non è uno zero!!!) del numeratore.[/*:m:2pg6dd42][/list:o:2pg6dd42]
Infatti, ad esempio, le due funzioni $f(z)=z$ e $g(z)=z^2$ si annullano entrambe in $0$, ma la funzione $(f(z))/(g(z))$ ha un polo di ordine $1$ in $0$.
Inoltre, la funzione $h(z)=1/z$ ha un polo del primo ordine in $0$ e però la funzione $1/(h(z))=z$ non è singolare in $0$.
Come vedi, produrre controesempi alle tue congetture è molto facile e potevi pure arrivarci da solo.
Tuttavia qualcosa del tipo che avevi in mente si può dire... Ad esempio vale il seguente fatto:
Siano $f (z)$ e $g(z)$ e olomorfe non identicamente nulle in $\Omega$, $z_0\in \Omega$ tale che $f(z_0)=0=g(z_0)$ e siano $n$ ed $m$, rispettivamente, gli ordini di $z_0$ come zero di $f$ e $g$.
La funzione $(f(z))/(g(z))$ ha in $z_0$:
[*:2pg6dd42] una singolarità eliminabile che è uno zero d'ordine $n-m$ se e solo se $n>m$;
[/*:m:2pg6dd42]
[*:2pg6dd42] una singolarità eliminabile che non è uno zero se e solo se $n=m$;
[/*:m:2pg6dd42]
[*:2pg6dd42] un polo d'ordine $m-n$ se e solo se $m>n$.[/*:m:2pg6dd42][/list:u:2pg6dd42]
In particolare, la funzione $1/(g(z))$ (reciproca di $g(z)$) ha in $z_0$ un polo d'ordine $m$ se e solo se $g(z)$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $m$.
Quindi ad esempio, la funzione:
\[
\frac{z(\mathbf{e}^z - 1)(z-\pi)^4}{\sin^2 z}
\]
ha:
[list=1][*:2pg6dd42]in $z_0=0$ una singolarità eliminabile che non è uno zero[nota]Difatti, per limiti notevoli, risulta:
\[
\lim_{z\to 0} \frac{z(\mathbf{e}^z -1)(z-\pi)^4}{\sin^2 z} = \pi^4\; .
\][/nota], perché $z_0$ è uno zero d'ordine $n=2$ per il numeratore e d'ordine $m=2$ per il denominatore,
[/*:m:2pg6dd42]
[*:2pg6dd42] in $z_1=\pi$ uno zero d'ordine $2$, perché $z_1$ è uno zero d'ordine $n=4$ per il numeratore e di ordine $m=2$ per il denominatore,
[/*:m:2pg6dd42]
[*:2pg6dd42] nei punti $z_k= k\pi$ con $k\in \ZZ\setminus \{0,1\}$ ha poli doppi, perché ogni $z_k$ è uno zero d'ordine $m=2$ per il denominatore ma di ordine $n=0$ (cioè non è uno zero!!!) del numeratore.[/*:m:2pg6dd42][/list:o:2pg6dd42]
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